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http://www.ekany.com/wdg98/zhsx/2/2_6.htm

Ferrers圖像 

    一個(gè)從上而下的n層格子，m_i 為第i層的格子數(shù)，當(dāng)m_i>=m_i+1(i=1,2,^...,n-1) ，即上層的格子數(shù)不少于下層的格子數(shù)時(shí)，稱(chēng)之為Ferrers圖像，如圖(2-6-2)示。 

        

                                 圖   (2-6-2)

    Ferrers圖像具有如下性質(zhì)： 

    1.每一層至少有一個(gè)格子。 

    2.第一行與第一列互換，第二行于第二列互換，…，即圖(2-6-3)繞虛線軸旋轉(zhuǎn)所得的圖仍然是Ferrers圖像。兩個(gè)Ferrers 圖像稱(chēng)為一對(duì)共軛的Ferrers圖像。 

    利用Ferrers圖像可得關(guān)于整數(shù)拆分的十分有趣的結(jié)果。 

    (a)整數(shù)n拆分成k個(gè)數(shù)的和的拆分?jǐn)?shù)，和數(shù)n拆分成個(gè)數(shù)的和的拆分?jǐn)?shù)相等。 

    因整數(shù)n拆分成k個(gè)數(shù)的和的拆分可用一k行的圖像表示。所得的Ferrers圖像的共軛圖像最上面一行有k個(gè)格子。例如： 

      

圖   (2-6-3)      

    (b)整數(shù)n拆分成最多不超過(guò)m個(gè)數(shù)的和的拆分?jǐn)?shù)，和n拆分成最大不超過(guò)m的拆分?jǐn)?shù)相等。 理由和(a)相類(lèi)似。 

    因此，拆分成最多不超過(guò)m個(gè)數(shù)的和的拆分?jǐn)?shù)的母函數(shù)是 

       

    拆分成最多不超過(guò)m-1個(gè)數(shù)的和的拆分?jǐn)?shù)的母函數(shù)是 

       

    所以正好拆分成m個(gè)數(shù)的和的拆分?jǐn)?shù)的母函數(shù)為 

       

    (c)整數(shù)n拆分成互不相同的若干奇數(shù)的和的的拆分?jǐn)?shù),和n拆分成自共軛的Ferrers圖像的拆分?jǐn)?shù)相等. 設(shè) 

       

其中n₁>n₂>^...>n_k 

    構(gòu)造一個(gè)Ferrers圖像，其第一行，第一列都是n₁+1格，對(duì)應(yīng)于2n₁+1，第二行，第二列各n₂+1格，對(duì)應(yīng)于2n₂+1。以此類(lèi)推。由此得到的Ferres圖像是共軛的。反過(guò)來(lái)也一樣。 

    例如 17=9+5+3 對(duì)應(yīng)為Ferrers圖像為

       

圖   (2-6-4)

       

費(fèi)勒斯（Ferrers）圖象

假定n拆分為n=n1+n2+n3+……+nk，且n1>=n2>=n3>=……>=nk

我們將它排列成階梯形，左邊看齊，我們可以得到一個(gè)類(lèi)似倒階梯圖像，這種圖像我們稱(chēng)之為Ferrers圖像，如對(duì)于20=10+5+4+1，我們有圖像：

對(duì)于Ferrers圖像，我們很容易知道以下兩條性質(zhì)：

（1）      每層至少一個(gè)格子

（2）      行列互換，所對(duì)應(yīng)的圖像仍為Ferrers圖像，他應(yīng)該為該圖像的共軛圖像

   任意的Ferrers圖像對(duì)應(yīng)一個(gè)整數(shù)的拆分，而可用Ferrers圖像方便地證明：

（1）      n拆分為k個(gè)整數(shù)的拆分?jǐn)?shù)，與n拆分成最大數(shù)為k的拆分?jǐn)?shù)相等

（2）      n拆分為最多不超過(guò)k個(gè)數(shù)的拆分?jǐn)?shù)，與n拆分成最大數(shù)不超過(guò)k的拆分?jǐn)?shù)相等

（3）      n拆分為互不相同的若干奇數(shù)的拆分?jǐn)?shù)，與n拆分成圖像自共軛的拆分的拆分?jǐn)?shù)相等