Posted on 2007-10-16 11:19
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Mathematics
http://www.ekany.com/wdg98/zhsx/2/2_6.htm
Ferrers圖像
一個從上而下的n層格子，mi 為第i層的格子數，當mi>=mi+1(i=1,2,...,n-1)
，即上層的格子數不少于下層的格子數時，稱之為Ferrers圖像，如圖(2-6-2)示。
圖 (2-6-2)
Ferrers圖像具有如下性質：
1.每一層至少有一個格子。
2.第一行與第一列互換，第二行于第二列互換，…，即圖(2-6-3)繞虛線軸旋轉所得的圖仍然是Ferrers圖像。兩個Ferrers
圖像稱為一對共軛的Ferrers圖像。
利用Ferrers圖像可得關于整數拆分的十分有趣的結果。
(a)整數n拆分成k個數的和的拆分數，和數n拆分成個數的和的拆分數相等。
因整數n拆分成k個數的和的拆分可用一k行的圖像表示。所得的Ferrers圖像的共軛圖像最上面一行有k個格子。例如：
圖 (2-6-3)
(b)整數n拆分成最多不超過m個數的和的拆分數，和n拆分成最大不超過m的拆分數相等。
理由和(a)相類似。
因此，拆分成最多不超過m個數的和的拆分數的母函數是
拆分成最多不超過m-1個數的和的拆分數的母函數是
所以正好拆分成m個數的和的拆分數的母函數為
(c)整數n拆分成互不相同的若干奇數的和的的拆分數,和n拆分成自共軛的Ferrers圖像的拆分數相等.
設
其中n1>n2>...>nk
構造一個Ferrers圖像，其第一行，第一列都是n1+1格，對應于2n1+1，第二行，第二列各n2+1格，對應于2n2+1。以此類推。由此得到的Ferres圖像是共軛的。反過來也一樣。
例如 17=9+5+3 對應為Ferrers圖像為
圖 (2-6-4)
費勒斯（Ferrers）圖象
假定n拆分為n=n1+n2+n3+……+nk，且n1>=n2>=n3>=……>=nk
我們將它排列成階梯形，左邊看齊，我們可以得到一個類似倒階梯圖像，這種圖像我們稱之為Ferrers圖像，如對于20=10+5+4+1，我們有圖像：
對于Ferrers圖像，我們很容易知道以下兩條性質：
（1） 每層至少一個格子
（2） 行列互換，所對應的圖像仍為Ferrers圖像，他應該為該圖像的共軛圖像
任意的Ferrers圖像對應一個整數的拆分，而可用Ferrers圖像方便地證明：
（1） n拆分為k個整數的拆分數，與n拆分成最大數為k的拆分數相等
（2） n拆分為最多不超過k個數的拆分數，與n拆分成最大數不超過k的拆分數相等
（3） n拆分為互不相同的若干奇數的拆分數，與n拆分成圖像自共軛的拆分的拆分數相等