Ferrers圖像
一個(gè)從上而下的n層格子,mi 為第i層的格子數(shù),當(dāng)mi>=mi+1(i=1,2,...,n-1) ,即上層的格子數(shù)不少于下層的格子數(shù)時(shí),稱之為Ferrers圖像,如圖(2-6-2)示。
圖 (2-6-2)
Ferrers圖像具有如下性質(zhì):
1.每一層至少有一個(gè)格子。
2.第一行與第一列互換,第二行于第二列互換,…,即圖(2-6-3)繞虛線軸旋轉(zhuǎn)所得的圖仍然是Ferrers圖像。兩個(gè)Ferrers 圖像稱為一對(duì)共軛的Ferrers圖像。
利用Ferrers圖像可得關(guān)于整數(shù)拆分的十分有趣的結(jié)果。
(a)整數(shù)n拆分成k個(gè)數(shù)的和的拆分?jǐn)?shù),和數(shù)n拆分成個(gè)數(shù)的和的拆分?jǐn)?shù)相等。
因整數(shù)n拆分成k個(gè)數(shù)的和的拆分可用一k行的圖像表示。所得的Ferrers圖像的共軛圖像最上面一行有k個(gè)格子。例如:
圖 (2-6-3)
(b)整數(shù)n拆分成最多不超過m個(gè)數(shù)的和的拆分?jǐn)?shù),和n拆分成最大不超過m的拆分?jǐn)?shù)相等。 理由和(a)相類似。
因此,拆分成最多不超過m個(gè)數(shù)的和的拆分?jǐn)?shù)的母函數(shù)是
拆分成最多不超過m-1個(gè)數(shù)的和的拆分?jǐn)?shù)的母函數(shù)是
所以正好拆分成m個(gè)數(shù)的和的拆分?jǐn)?shù)的母函數(shù)為
(c)整數(shù)n拆分成互不相同的若干奇數(shù)的和的的拆分?jǐn)?shù),和n拆分成自共軛的Ferrers圖像的拆分?jǐn)?shù)相等. 設(shè)
其中n1>n2>...>nk
構(gòu)造一個(gè)Ferrers圖像,其第一行,第一列都是n1+1格,對(duì)應(yīng)于2n1+1,第二行,第二列各n2+1格,對(duì)應(yīng)于2n2+1。以此類推。由此得到的Ferres圖像是共軛的。反過來也一樣。
例如 17=9+5+3 對(duì)應(yīng)為Ferrers圖像為
圖 (2-6-4)
費(fèi)勒斯(Ferrers)圖象
假定n拆分為n=n1+n2+n3+……+nk,且n1>=n2>=n3>=……>=nk
我們將它排列成階梯形,左邊看齊,我們可以得到一個(gè)類似倒階梯圖像,這種圖像我們稱之為Ferrers圖像,如對(duì)于20=10+5+4+1,我們有圖像:
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對(duì)于Ferrers圖像,我們很容易知道以下兩條性質(zhì):
(1) 每層至少一個(gè)格子
(2) 行列互換,所對(duì)應(yīng)的圖像仍為Ferrers圖像,他應(yīng)該為該圖像的共軛圖像
任意的Ferrers圖像對(duì)應(yīng)一個(gè)整數(shù)的拆分,而可用Ferrers圖像方便地證明:
(1) n拆分為k個(gè)整數(shù)的拆分?jǐn)?shù),與n拆分成最大數(shù)為k的拆分?jǐn)?shù)相等
(2) n拆分為最多不超過k個(gè)數(shù)的拆分?jǐn)?shù),與n拆分成最大數(shù)不超過k的拆分?jǐn)?shù)相等
(3) n拆分為互不相同的若干奇數(shù)的拆分?jǐn)?shù),與n拆分成圖像自共軛的拆分的拆分?jǐn)?shù)相等