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          離散學習筆記 - 群 (1)

          Posted on 2007-08-07 22:31 ZelluX 閱讀(401) 評論(0)  編輯  收藏 所屬分類: Mathematics
          1. 一個有限非空集合M到自身的一個雙射稱為置換
          若M的元素個數為n,記M的所有置換的集合記作Sn,則不難得出Sn的元素個數為n個元素的排列數,即
          | Sn | = n!

          2. Sn的一個把i1變到i2,i2變到i3,……,ik-1變到ik,ik變到i1,而其余的元(如果還有)不變的置換稱為k階循環置換

          (1 2 3 4 5 6)  =  (1) = (2) = ... = (6),稱為恒等置換
           1 2 3 4 5 6

          3.幾個定理:
          1) 設f,g為兩個不相交的循環置換,則fg = gf
          2) 任意置換均可唯一地分解成不相交循環置換的乘積
          這個定理可由構造法證得,該證法同時也給出了分解為循環置換的乘積的方法
          3) 任意置換均可分解為對換的乘積(不唯一),例如
          (12)(345) = (12)(35)(34) = (12)(14)(41)(35)(34)

          4. 置換的奇偶性
          1) 設f ∈Sn,規定f的符號為
          Sgn f = ∏[ f(i) - f(j) ] / (i - j)
          貌似就是逆序對數的奇偶性,奇為-1,偶為1
          2) Sgn(fg) = (Sgn f)(Sgn g)
          3) n > 1時,Sn中奇置換與偶置換的個數相等,均為n! / 2
          可通過分離一組對換積證得

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