前文提到過，除了開方檢驗(yàn)（CHI）以外，信息增益（IG，Information Gain）也是很有效的特征選擇方法。但凡是特征選擇，總是在將特征的重要程度量化之后再進(jìn)行選擇，而如何量化特征的重要性，就成了各種方法間最大的不同。開方檢驗(yàn)中使用特征與類別間的關(guān)聯(lián)性來進(jìn)行這個(gè)量化，關(guān)聯(lián)性越強(qiáng)，特征得分越高，該特征越應(yīng)該被保留。

在信息增益中，重要性的衡量標(biāo)準(zhǔn)就是看特征能夠?yàn)榉诸愊到y(tǒng)帶來多少信息，帶來的信息越多，該特征越重要。

因此先回憶一下信息論中有關(guān)信息量（就是“熵”）的定義。說有這么一個(gè)變量X，它可能的取值有n多種，分別是x₁，x₂，……，x_n，每一種取到的概率分別是P₁，P₂，……，P_n，那么X的熵就定義為：

意思就是一個(gè)變量可能的變化越多（反而跟變量具體的取值沒有任何關(guān)系，只和值的種類多少以及發(fā)生概率有關(guān)），它攜帶的信息量就越大（因此我一直覺得我們的政策法規(guī)信息量非常大，因?yàn)樗兓芏?，基本朝令夕改，笑）?

對分類系統(tǒng)來說，類別C是變量，它可能的取值是C₁，C₂，……，C_n，而每一個(gè)類別出現(xiàn)的概率是P(C₁)，P(C₂)，……，P(C_n)，因此n就是類別的總數(shù)。此時(shí)分類系統(tǒng)的熵就可以表示為：

有同學(xué)說不好理解呀，這樣想就好了，文本分類系統(tǒng)的作用就是輸出一個(gè)表示文本屬于哪個(gè)類別的值，而這個(gè)值可能是C₁，C₂，……，C_n，因此這個(gè)值所攜帶的信息量就是上式中的這么多。

信息增益是針對一個(gè)一個(gè)的特征而言的，就是看一個(gè)特征t，系統(tǒng)有它和沒它的時(shí)候信息量各是多少，兩者的差值就是這個(gè)特征給系統(tǒng)帶來的信息量，即增益。系統(tǒng)含有特征t的時(shí)候信息量很好計(jì)算，就是剛才的式子，它表示的是包含所有特征時(shí)系統(tǒng)的信息量。

問題是當(dāng)系統(tǒng)不包含t時(shí)，信息量如何計(jì)算？我們換個(gè)角度想問題，把系統(tǒng)要做的事情想象成這樣：說教室里有很多座位，學(xué)生們每次上課進(jìn)來的時(shí)候可以隨便坐，因而變化是很大的（無數(shù)種可能的座次情況）；但是現(xiàn)在有一個(gè)座位，看黑板很清楚，聽老師講也很清楚，于是校長的小舅子的姐姐的女兒托關(guān)系（真輾轉(zhuǎn)啊），把這個(gè)座位定下來了，每次只能給她坐，別人不行，此時(shí)情況怎樣？對于座次的可能情況來說，我們很容易看出以下兩種情況是等價(jià)的：（1）教室里沒有這個(gè)座位；（2）教室里雖然有這個(gè)座位，但其他人不能坐（因?yàn)榉凑膊荒軈⑴c到變化中來，它是不變的）。

對應(yīng)到我們的系統(tǒng)中，就是下面的等價(jià)：（1）系統(tǒng)不包含特征t；（2）系統(tǒng)雖然包含特征t，但是t已經(jīng)固定了，不能變化。

我們計(jì)算分類系統(tǒng)不包含特征t的時(shí)候，就使用情況（2）來代替，就是計(jì)算當(dāng)一個(gè)特征t不能變化時(shí)，系統(tǒng)的信息量是多少。這個(gè)信息量其實(shí)也有專門的名稱，就叫做“條件熵”，條件嘛，自然就是指“t已經(jīng)固定“這個(gè)條件。

但是問題接踵而至，例如一個(gè)特征X，它可能的取值有n多種（x₁，x₂，……，x_n），當(dāng)計(jì)算條件熵而需要把它固定的時(shí)候，要把它固定在哪一個(gè)值上呢？答案是每一種可能都要固定一下，計(jì)算n個(gè)值，然后取均值才是條件熵。而取均值也不是簡單的加一加然后除以n，而是要用每個(gè)值出現(xiàn)的概率來算平均（簡單理解，就是一個(gè)值出現(xiàn)的可能性比較大，固定在它上面時(shí)算出來的信息量占的比重就要多一些）。

因此有這樣兩個(gè)條件熵的表達(dá)式：

這是指特征X被固定為值x_i時(shí)的條件熵，

這是指特征X被固定時(shí)的條件熵，注意與上式在意義上的區(qū)別。從剛才計(jì)算均值的討論可以看出來，第二個(gè)式子與第一個(gè)式子的關(guān)系就是：

具體到我們文本分類系統(tǒng)中的特征t，t有幾個(gè)可能的值呢？注意t是指一個(gè)固定的特征，比如他就是指關(guān)鍵詞“經(jīng)濟(jì)”或者“體育”，當(dāng)我們說特征“經(jīng)濟(jì)”可能的取值時(shí)，實(shí)際上只有兩個(gè)，“經(jīng)濟(jì)”要么出現(xiàn)，要么不出現(xiàn)。一般的，t的取值只有t（代表t出現(xiàn)）和（代表t不出現(xiàn)），注意系統(tǒng)包含t但t 不出現(xiàn)與系統(tǒng)根本不包含t可是兩回事。

因此固定t時(shí)系統(tǒng)的條件熵就有了，為了區(qū)別t出現(xiàn)時(shí)的符號與特征t本身的符號，我們用T代表特征，而用t代表T出現(xiàn)，那么：

與剛才的式子對照一下，含義很清楚對吧，P(t)就是T出現(xiàn)的概率，就是T不出現(xiàn)的概率。這個(gè)式子可以進(jìn)一步展開，其中的

另一半就可以展開為：

因此特征T給系統(tǒng)帶來的信息增益就可以寫成系統(tǒng)原本的熵與固定特征T后的條件熵之差：

公式中的東西看上去很多，其實(shí)也都很好計(jì)算。比如P(C_i)，表示類別C_i出現(xiàn)的概率，其實(shí)只要用1除以類別總數(shù)就得到了（這是說你平等的看待每個(gè)類別而忽略它們的大小時(shí)這樣算，如果考慮了大小就要把大小的影響加進(jìn)去）。再比如P(t)，就是特征T出現(xiàn)的概率，只要用出現(xiàn)過T的文檔數(shù)除以總文檔數(shù)就可以了，再比如P(C_i|t)表示出現(xiàn)T的時(shí)候，類別C_i出現(xiàn)的概率，只要用出現(xiàn)了T并且屬于類別C_i的文檔數(shù)除以出現(xiàn)了T的文檔數(shù)就可以了。

從以上討論中可以看出，信息增益也是考慮了特征出現(xiàn)和不出現(xiàn)兩種情況，與開方檢驗(yàn)一樣，是比較全面的，因而效果不錯(cuò)。但信息增益最大的問題還在于它只能考察特征對整個(gè)系統(tǒng)的貢獻(xiàn)，而不能具體到某個(gè)類別上，這就使得它只適合用來做所謂“全局”的特征選擇（指所有的類都使用相同的特征集合），而無法做“本地”的特征選擇（每個(gè)類別有自己的特征集合，因?yàn)橛械脑~，對這個(gè)類別很有區(qū)分度，對另一個(gè)類別則無足輕重）。

看看，導(dǎo)出的過程其實(shí)很簡單，沒有什么神秘的對不對?？捎械膶W(xué)術(shù)論文里就喜歡把這種本來很直白的東西寫得很晦澀，仿佛只有讀者看不懂才是作者的真正成功。

咱們是新一代的學(xué)者，咱們沒有知識不怕被別人看出來，咱們有知識也不怕教給別人。所以咱都把事情說簡單點(diǎn)，說明白點(diǎn)，大家好，才是真的好。