上節說到我們有了一個線性分類函數，也有了判斷解優劣的標準——即有了優化的目標，這個目標就是最大化幾何間隔，但是看過一些關于SVM的論文的人一定記得什么優化的目標是要最小化||w||這樣的說法，這是怎么回事呢？回頭再看看我們對間隔和幾何間隔的定義：

間隔：δ=y(wx+b)=|g(x)|

幾何間隔：clip_image002

 

可以看出δ=||w||δ幾何。注意到幾何間隔與||w||是成反比的，因此最大化幾何間隔與最小化||w||完全是一回事。而我們常用的方法并不是固定||w||的大小而尋求最大幾何間隔，而是固定間隔（例如固定為1），尋找最小的||w||。

而凡是求一個函數的最小值（或最大值）的問題都可以稱為尋優問題（也叫作一個規劃問題），又由于找最大值的問題總可以通過加一個負號變為找最小值的問題，因此我們下面討論的時候都針對找最小值的過程來進行。一個尋優問題最重要的部分是目標函數，顧名思義，就是指尋優的目標。例如我們想尋找最小的||w||這件事，就可以用下面的式子表示：

clip_image002[4]

但實際上對于這個目標，我們常常使用另一個完全等價的目標函數來代替，那就是：

clip_image002[6](式1)

不難看出當||w||2達到最小時，||w||也達到最小，反之亦然（前提當然是||w||描述的是向量的長度，因而是非負的）。之所以采用這種形式，是因為后面的求解過程會對目標函數作一系列變換，而式（1）的形式會使變換后的形式更為簡潔（正如聰明的讀者所料，添加的系數二分之一和平方，皆是為求導數所需）。

接下來我們自然會問的就是，這個式子是否就描述了我們的問題呢？（回想一下，我們的問題是有一堆點，可以被分成兩類，我們要找出最好的分類面）

如果直接來解這個求最小值問題，很容易看出當||w||=0的時候就得到了目標函數的最小值。但是你也會發現，無論你給什么樣的數據，都是這個解！反映在圖中，就是H1與H2兩條直線間的距離無限大，這個時候，所有的樣本點（無論正樣本還是負樣本）都跑到了H1和H2中間，而我們原本的意圖是，H1右側的被分為正類，H2 左側的被分為負類，位于兩類中間的樣本則拒絕分類（拒絕分類的另一種理解是分給哪一類都有道理，因而分給哪一類也都沒有道理）。這下可好，所有樣本點都進入了無法分類的灰色地帶。



clip_image002[8]

造成這種結果的原因是在描述問題的時候只考慮了目標，而沒有加入約束條件，約束條件就是在求解過程中必須滿足的條件，體現在我們的問題中就是樣本點必須在H1或H2的某一側（或者至少在H1和H2上），而不能跑到兩者中間。我們前文提到過把間隔固定為1，這是指把所有樣本點中間隔最小的那一點的間隔定為1（這也是集合的間隔的定義，有點繞嘴），也就意味著集合中的其他點間隔都不會小于1，按照間隔的定義，滿足這些條件就相當于讓下面的式子總是成立：

    yi[(w·xi)+b]≥1 (i=1,2,…,l) （l是總的樣本數）

但我們常常習慣讓式子的值和0比較，因而經常用變換過的形式：

    yi[(w·xi)+b]-1≥0 (i=1,2,…,l) （l是總的樣本數）

因此我們的兩類分類問題也被我們轉化成了它的數學形式，一個帶約束的最小值的問題：

clip_image002[10]

下一節我們從最一般的意義上看看一個求最小值的問題有何特征，以及如何來解。