算法導(dǎo)論第27章，在并行處理的條件下效率很高的排序算法。
介紹如下面左圖所示，每條橫線(wire)代表一個(gè)待比較的數(shù)值，豎線(comparator)表示連接的兩條橫線要做一次比較，并將較小的值放在輸出橫線的上方，較大的放在下面。排序過程就是從左往右依次調(diào)用各個(gè)comparator（在同一位置上的comparator可以同時(shí)做）
有圖表示了四個(gè)數(shù)字3, 2, 4, 1在經(jīng)過這個(gè)Sorting Network時(shí)的行為。
下圖是一個(gè)冒泡排序的Sorting Network表示
可以看到所有的比較都沒有并行，效率很低。接下來先介紹一個(gè)0-1原理，然后利用它來構(gòu)造一些比較高效的網(wǎng)絡(luò)。
性質(zhì)首先是引理27.1：
對于輸入數(shù)據(jù)A = <a_1, a_2, .., a_n>，如果某個(gè)比較網(wǎng)絡(luò)(comparison network)的輸出是B = <b_1, b_2, ..., b_n>，那么對于任一單調(diào)遞增的函數(shù)f，這個(gè)網(wǎng)絡(luò)能把輸入數(shù)據(jù)f(A) = <f(a_1), f(a_2), ..., f(a_n)>變?yōu)閒(B) = <f(b_1), f(b_2), ...f(b_3)>
這個(gè)引理的證明很簡單，關(guān)鍵在于min(f(x), f(y)) = f(min(x,y))
接下來就是0-1原理：
一個(gè)有n個(gè)輸入數(shù)據(jù)的比較網(wǎng)絡(luò)，如果它能將僅由0和1組成的序列正確的排序（這種輸入共有2^n種可能），那么它也能正確的將任意數(shù)字組成的序列排序。
證明也不難，利用前面的引理反正即可得到這個(gè)定理。
雙調(diào)排序接下來先考慮雙調(diào)序列(bitonic sequence)這種特殊情況，所謂雙調(diào)序列就是先單調(diào)遞增，后單調(diào)遞減，或者可以通過環(huán)形旋轉(zhuǎn)變化出上述特性的序列，比如<1, 4, 6, 8, 3, 2>和<6, 9, 4, 2, 3, 5>都滿足條件（對于后面一種序列，只要把最后的3, 5移到序列開頭就行了）。
雙調(diào)排序(bitonic sorter)有若干步驟，其中有一步叫做half-cleaner，每一次half-cleaner講數(shù)據(jù)放到一個(gè)深度為1的排序網(wǎng)絡(luò)中，第i行和第i+n/2行比較(i=1,2,..,n/2)
引理27.3：
做完上述的half-cleaner后，輸出的上半部分和下半部分都保持雙調(diào)的特點(diǎn)，而且上半部分的每個(gè)元素都不大于下半部分的任一元素。
分四種情況討論即可。
通過遞歸調(diào)用half-cleaner即可完成雙調(diào)隊(duì)列的排序。要對n個(gè)元素進(jìn)行雙調(diào)排序Bitonic-Sorter(n)，首先調(diào)用Half-Cleaner(n)，將元素分成上下兩部分，接著依次對這兩部分執(zhí)行Bitonic-Sorter(n/2)即可。
調(diào)用的深度D(n) = lgn
歸并網(wǎng)絡(luò)
書上只給出了對0-1序列排序的算法，任意數(shù)字的排序算法留作了習(xí)題。
合并網(wǎng)絡(luò)基于這樣一個(gè)事實(shí)：對于兩個(gè)已經(jīng)排序了的序列X = 00000111，Y = 00001111，將Y倒過來后和X拼接的結(jié)果是一個(gè)雙調(diào)序列。對這個(gè)雙調(diào)序列再做一次Bitonic-Sorter就能有序。
通過修改Bitonic-Sorter方法的第一步就能實(shí)現(xiàn)Merger，關(guān)鍵在于隱式的反轉(zhuǎn)輸入的下半部分。Half-Cleaner方法中比較了第i和第i+n/2兩個(gè)元素，如果下半部分反轉(zhuǎn)的話就相當(dāng)于比較第i和第n-i+1個(gè)元素。直接繼續(xù)執(zhí)行Bitonic-Sorter方法即可，如下圖所示。
排序網(wǎng)絡(luò)我們已經(jīng)有了構(gòu)造一個(gè)排序網(wǎng)絡(luò)所需的工具，接下來介紹一種利用歸并網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行排序的并行版本。
大致方法和傳統(tǒng)的歸并排序類似，從最小的顆粒開始二分增長，直到整個(gè)序列有序。
這樣，一共需要lg(n)次Merger，每次歸并中需要做lg(i)次Sorter，排序的總深度
D(n) =
0 ? ? ? ? ? ? ? (n = 1)
D(n/2) + lg(n)? (n = 2^k且 k>=1)
由Master Method可推出D(n) = big-omega(lg^2(n))
也就是說理想的并行環(huán)境中，n個(gè)數(shù)可以在O(lg^2(n))時(shí)間內(nèi)完成排序。
Bitonic Sorter http://www.iti.fh-flensburg.de/lang/algorithmen/sortieren/bitonic/bitonicen.htm