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Posted on 2009-10-26 22:56 小強摩羯座 閱讀(291) 評論(0) 編輯 收藏 所屬分類: 算法編程
最大公約數和最小公倍數
語言: C, 標簽: 無 2008/07/22發布 5個月前更新 更新記錄
作者: 半瓶墨水, 點擊5221次, 評論(0), 收藏者(0), , 打分: 登錄以后才能打分, 目前平均0.0分，總分0, 共有0個用戶參與打分
# 以下描述來自： http://baike.baidu.com/view/47637.htm
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# 最大公約數（greatest common divisor，簡寫為gcd；
# 指某幾個整數共有公約數中的最大一個
# 例: 在2、4、6中，2就是2，4，6的最大公約數。
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# 重要性質：
# gcd(a,b)=gcd(b,a) （交換律）
# gcd(-a,b)=gcd(a,b)
# gcd(a,a)=|a|
# gcd(a,0)=|a|
# gcd(a,1)=1
# gcd(a,b)=gcd(b, a mod b)
# gcd(a,b)=gcd(b, a-b)
# 如果有附加的一個自然數m,
# 則: gcd(ma,mb)=m * gcd(a,b) (分配率)
# gcd(a+mb ,b)=gcd(a,b)
# 如果m是a和b的最大公約數，
# 則： gcd(a/m ,b/m)=gcd(a,b)/m
# 在乘法函數中有：
# gcd(ab,m)=gcd(a,m) * gcd(b,m)
# 兩個整數的最大公約數主要有兩種尋找方法：
# * 兩數各分解質因子，然后取出同樣有的項乘起來
# * 輾轉相除法（擴展版）
# 和最小公倍數（lcm）的關系：
# gcd(a, b) * lcm(a, b) = ab
# a與b有最大公約數，但不一定有最小公倍數。
# 兩個整數的最大公因子可用于計算兩數的最小公倍數，或分數化簡成最簡分數。
# 兩個整數的最大公因子和最小公倍數中存在分配律：
# * gcd(a, lcm(b, c)) = lcm(gcd(a, b), gcd(a, c))
# * lcm(a, gcd(b, c)) = gcd(lcm(a, b), lcm(a, c))
# 在坐標里，將點(0, 0)和(a, b)連起來，通過整數坐標的點的數目（除了(0, 0)一點之外）就是gcd(a, b)。
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# 以下代碼來自： http://bbs.bccn.net/thread-224663-1-1.html
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int GCD(int a, int b)
{
if(b == 0) return a;
else return GCD(b, a % b);
}
int LCM(int a, int b)
{
return a * b / GCD(a,b);
}
/*以下代碼來自：http://en.wikipedia.org/wiki/Binary_GCD_algorithm */
unsigned int gcd(unsigned int u, unsigned int v)
{
int shift;
/* GCD(0,x) := x */
if (u == 0 || v == 0)
return u | v;
/* Let shift := lg K, where K is the greatest power of 2
dividing both u and v. */
for (shift = 0; ((u | v) & 1) == 0; ++shift) {
u >>= 1;
v >>= 1;
}
while ((u & 1) == 0)
u >>= 1;
/* From here on, u is always odd. */
do {
while ((v & 1) == 0) /* Loop X */
v >>= 1;
/* Now u and v are both odd, so diff(u, v) is even.
Let u = min(u, v), v = diff(u, v)/2. */
if (u < v) {
v -= u;
} else {
unsigned int diff = u - v;
u = v;
v = diff;
}
v >>= 1;
} while (v != 0);
return u << shift;
}
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