1. 層次聚類
層次聚類算法與之前所講的順序聚類有很大不同，它不再產生單一聚類，而是產生一個聚類層次。說白了就是一棵層次樹。介紹層次聚類之前，要先介紹一個概念——嵌套聚類。講的簡單點，聚類的嵌套與程序的嵌套一樣，一個聚類中R1包含了另一個R2，那這就是R2嵌套在R1中，或者說是R1嵌套了R2。具體說怎么算嵌套呢？聚類R1={{x1,x2},{x3},{x4,x5}嵌套在聚類R2={{x1,x2,x3},{x4,x5}}中，但并不嵌套在聚類R3={{x1,x4},{x3},{x2,x5}}中。
層次聚類算法產生一個嵌套聚類的層次，算法最多包含N步，在第t步，執行的操作就是在前t-1步的聚類基礎上生成新聚類。主要有合并和分裂兩種實現。我這里只講合并，因為前一階段正好課題用到，另外就是合并更容易理解和實現。當然分裂其實就是合并的相反過程。
令g(Ci,Cj)為所有可能的X聚類對的函數，此函數用于測量兩個聚類之間的近鄰性，用t表示當前聚類的層次級別。通用合并算法的偽碼描述如下：
1. 初始化：
a) 選擇Â0={{x1},…,{xN}}
b) 令t=0
2. 重復執行以下步驟：
a) t=t+1
b) 在Ât-1中選擇一組(Ci,Cj)，滿足
c) 定義Cq=CiÈCj，并且產生新聚類Ât=(Ât-1-{Ci,Cj})È{Cq}
直到所有向量全被加入到單一聚類中。
這一方法在t層時將兩個向量合并，那么這兩個向量在以后的聚類過程中的后繼聚類都是相同的，也就是說一旦它們走到一起，那么以后就不會再分離……（很專一哦O(∩_∩)O~）。這也就引出了這個算法的缺點，當在算法開始階段，若出現聚類錯誤，那么這種錯誤將一直會被延續，無法修改。在層次t上，有N-t個聚類，為了確定t+1層上要合并的聚類對，必須考慮(N-t)(N-t-1)/2個聚類對。這樣，聚類過程總共要考慮的聚類對數量就是(N-1)N(N+1)/6，也就是說整個算法的時間復雜度是O(N3)。
舉例來說，如果令X={x1, x2, x3, x4, x5}，其中x1=[1, 1]T, x2=[2, 1]T, x3=[5, 4]T, x4=[6, 5]T, x5=[6.5, 6]T。那么合并算法執行的過程可以用下面的圖來表示。
P(X)是不相似矩陣
該算法從核心過程上來講，就是先計算出數據集中向量之間的距離，記為距離矩陣（也叫不相似矩陣）。接著通過不斷的對矩陣更新，完成聚類。矩陣更新算法的偽碼描述如下：
1. 初始化：
a) Â0={{x1},…,{xN}}
b) P0=P(X) (距離矩陣)
c) t=0
2. 重復執行以下步驟：
a) t=t+1
b) 合并Ci和Cj為Cq，這兩個聚類滿足d(Ci,Cj)=minr,s=1,…,N,r≠sd(Cr,Cs)
c) 刪除第i和j行，第i和j列，同時插入新的行和列，新的行列為新合并的類Cq與所有其他聚類之間的距離值
直到將所有向量合并到一個聚類中
大家可以看到，層次聚類算法的輸出結果總是一個聚類，這往往不是我們想要的，我們總希望算法在得到我們期望的結果后就停止。那么我們如何控制呢？常用的做法就是為算法限制一個閾值，矩陣更新過程中，總是將兩個距離最近的聚類合并，那么我們只要加入一個閾值判斷，當這個距離大于閾值時，就說明不需要再合并了，此時算法結束。這樣的閾值引入可以很好的控制算法結束時間，將層次截斷在某一層上。
2. 算法實現
MATLAB實現了層次聚類算法，基本語句如下：
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X = [1 2;2.5 4.5;2 2;4 1.5;4 2.5] ;
2Y = pdist(X,'euclid');
3Z = linkage(Y,'single');
4T = cluster(Z,'cutoff',cutoff);
MATLAB還有一個簡化的層次聚類版本，一句話搞定
1T = clusterdata(X,cutoff)
Java實現的版本：
1package util;
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3import java.util.*;
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public class Clusterer 
{
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private List[] clusterList;
7 DisjointSets ds;
8 private static final int MAX = Integer.MAX_VALUE;
9 private int n;
10 private int cc;
11
12 // private double ori[] = {1,2,5,7,9,10};
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public Clusterer(int num) {
15 ds = new DisjointSets(num);
16 n = num;
17 cc = n;
18 clusterList = new ArrayList[num];
19 for (int i = 0; i < n; i++)
20 clusterList[i] = new ArrayList();
21
}
22
23 public List[] getClusterList() {
24 return clusterList;
25 }
26
27 public void setClusterList(List[] clusterList) {
28 this.clusterList = clusterList;
29 }
30
31 public void output() {
32 int ind = 1;
33 for (int i = 0; i < n; i++) {
34 clusterList[ds.find(i)].add(i);
35 }
36 for (int i = 0; i < n; i++) {
37 if (clusterList[i].size() != 0) {
38 System.out.print("cluster " + ind + " :");
39 for (int j = 0; j < clusterList[i].size(); j++) {
40 System.out.print(clusterList[i].get(j) + " ");
41 }
42 System.out.println();
43 ind++;
44 }
45 }
46 }
47
48 /** *//**
49 * this method provides a hierachical way for clustering data.
50 *
51 * @param r
52 * denote the distance matrix
53 * @param n
54 * denote the sample num(distance matrix's row number)
55 * @param dis
56 * denote the threshold to stop clustering
57 */
58 public void cluster(double[][] r, int n, double dis) {
59 int mx = 0, my = 0;
60 double vmin = MAX;
61 for (int i = 0; i < n; i++) { // 尋找最小距離所在的行列
62 for (int j = 0; j < n; j++) {
63 if (j > i) {
64 if (vmin > r[i][j]) {
65 vmin = r[i][j];
66 mx = i;
67 my = j;
68 }
69 }
70 }
71 }
72 if (vmin > dis) {
73 return;
74 }
75 ds.union(ds.find(mx), ds.find(my)); // 將最小距離所在的行列實例聚類合并
76 double o1[] = r[mx];
77 double o2[] = r[my];
78 double v[] = new double[n];
79 double vv[] = new double[n];
80 for (int i = 0; i < n; i++) {
81 double tm = Math.min(o1[i], o2[i]);
82 if (tm != 0)
83 v[i] = tm;
84 else
85 v[i] = MAX;
86 vv[i] = MAX;
87 }
88 r[mx] = v;
89 r[my] = vv;
90 for (int i = 0; i < n; i++) { // 更新距離矩陣
91 r[i][mx] = v[i];
92 r[i][my] = vv[i];
93 }
94 cluster(r, n, dis); // 繼續聚類，遞歸直至所有簇之間距離小于dis值
95 }
96
97 /** *//**
98 *
99 * @param r
100 * @param cnum
101 * denote the number of final clusters
102 */
103 public void cluster(double[][] r, int cnum) {
104 /**//*if(cc< cnum)
105 System.err.println("聚類數大于實例數");*/
106 while (cc > cnum) {// 繼續聚類，循環直至聚類個數等于cnum
107 int mx = 0, my = 0;
108 double vmin = MAX;
109 for (int i = 0; i < n; i++) { // 尋找最小距離所在的行列
110 for (int j = 0; j < n; j++) {
111 if (j > i) {
112 if (vmin > r[i][j]) {
113 vmin = r[i][j];
114 mx = i;
115 my = j;
116 }
117 }
118 }
119 }
120 ds.union(ds.find(mx), ds.find(my)); // 將最小距離所在的行列實例聚類合并
121 double o1[] = r[mx];
122 double o2[] = r[my];
123 double v[] = new double[n];
124 double vv[] = new double[n];
125 for (int i = 0; i < n; i++) {
126 double tm = Math.min(o1[i], o2[i]);
127 if (tm != 0)
128 v[i] = tm;
129 else
130 v[i] = MAX;
131 vv[i] = MAX;
132 }
133 r[mx] = v;
134 r[my] = vv;
135 for (int i = 0; i < n; i++) { // 更新距離矩陣
136 r[i][mx] = v[i];
137 r[i][my] = vv[i];
138 }
139 cc--;
140 }
141 }
142
143 public static void main(String args[]) {
144 double[][] r = { { 0, 1, 4, 6, 8, 9 }, { 1, 0, 3, 5, 7, 8 },
145 { 4, 3, 0, 2, 4, 5 }, { 6, 5, 2, 0, 2, 3 },
146 { 8, 7, 4, 2, 0, 1 }, { 9, 8, 5, 3, 1, 0 } };
147 Clusterer cl = new Clusterer(6);
148 //cl.cluster(r, 6, 1);
149 cl.cluster(r, 3);
150 cl.output();
151 }
152
153
}
154
3. 小結
層次聚類算法是非常常用的聚類算法，同時也是被廣泛研究的聚類算法。層次聚類本身分為合并和分裂兩種實現，在合并算法中，又分基于矩陣理論的合并和基于圖論的合并。本文只是初學聚類的一點體會，因此只實現了基于矩陣理論的算法，同時，用于大數據集合的層次算法如CURE，ROCK和Chameleon算法都沒有涉及，這些算法如果以后有時間，會整理發布。還有截斷點的選擇，最佳聚類數的確定都是可以研究的問題。
4. 參考文獻及推薦閱讀
[1]Pattern Recognition Third Edition, Sergios Theodoridis, Konstantinos Koutroumbas
[2]模式識別第三版, Sergios Theodoridis, Konstantinos Koutroumbas著, 李晶皎, 王愛俠, 張廣源等譯
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