矩陣分解 (decomposition, factorization), 顧名思義, 就是將矩陣進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆纸? 使得進(jìn)一步的處理更加便利。矩陣分解多數(shù)情況下是將一個(gè)矩陣分解成數(shù)個(gè)三角陣(triangular matrix)。依使用目的的不同，一般有三種矩陣分解方法：1)三角分解法 (Triangular decomposition)，2)QR 分解法 (QR decomposition)，3)奇異值分解法 (Singular Value Decompostion)。
1) 三角分解法(Triangular decomposition)
三角分解法是將方陣 (square matrix)分解成一個(gè)上三角矩陣﹝或是排列(permuted) 的上三角矩陣﹞和一個(gè)下三角矩陣，該方法又被稱為LU分解法。
例如, 矩陣X=[1 2 3;4 5 6;7 8 9], 運(yùn)用該分解方法可以得到:
上三角矩陣L=[0.1429 1.0000 0
0.5714 0.5000 1.0000
1.0000 0 0]
和下三角矩陣U=[7.0000 8.0000 9.0000
0 0.8571 1.7143
0 0 0.0000]
不難驗(yàn)證 L* U = X.
該分解方法的用途主要在簡化大矩陣的行列式值的計(jì)算,矩陣求逆運(yùn)算和求解聯(lián)立方程組。需要注意的是, 這種分解方法所得到的上下三角形矩陣不是唯一的，我們還可找到若干對不同的上下三角矩陣對，它們的乘積也會(huì)得到原矩陣。
對應(yīng)MATLAB命令: lu
2) QR分解法
QR分解法是將矩陣分解成一個(gè)單位正交矩陣(自身與其轉(zhuǎn)置乘積為單位陣I)和一個(gè)上三角矩陣。
對應(yīng)MATLAB命令: qr
3) 奇異值分解法(SVD)
奇異值分解 (sigular value decomposition,SVD) 是另一種正交矩陣分解法；SVD是最可靠的分解法，但是它比QR 分解法要花上近十倍的計(jì)算時(shí)間。使用SVD分解法的用途是求解最小平方誤差和數(shù)據(jù)壓縮。
對應(yīng)MATLAB命令: svd