感覺數(shù)學(xué)似乎總是不夠的。這些日子為了解決research中的一些問題，又在圖書館捧起了數(shù)學(xué)的教科書。
從 大學(xué)到現(xiàn)在，課堂上學(xué)的和自學(xué)的數(shù)學(xué)其實不算少了，可是在研究的過程中總是發(fā)現(xiàn)需要補充新的數(shù)學(xué)知識。Learning和Vision都是很多種數(shù)學(xué)的交 匯場。看著不同的理論體系的交匯，對于一個researcher來說，往往是非常exciting的enjoyable的事情。不過，這也代表著要充分了 解這個領(lǐng)域并且取得有意義的進展是很艱苦的。
記得在兩年前的一次blog里面，提到過和learning有關(guān)的數(shù)學(xué)。今天看來，我對于數(shù)學(xué)在這個領(lǐng)域的作用有了新的思考。
對于Learning的研究，
Linear Algebra (線性代數(shù)) 和 Statistics (統(tǒng)計學(xué)) 是最重要和不可缺少的。這代表了Machine Learning中最主流的兩大類方法的基礎(chǔ)。一種是以研究函數(shù)和變換為重點的代數(shù)方法，比如Dimension reduction，feature extraction，Kernel等，一種是以研究統(tǒng)計模型和樣本分布為重點的統(tǒng)計方法，比如Graphical model, Information theoretical models等。它們側(cè)重雖有不同，但是常常是共同使用的，對于代數(shù)方法，往往需要統(tǒng)計上的解釋，對于統(tǒng)計模型，其具體計算則需要代數(shù)的幫助。
以代數(shù)和統(tǒng)計為出發(fā)點，繼續(xù)往深處走，我們會發(fā)現(xiàn)需要更多的數(shù)學(xué)。
Calculus (微積分)，只是數(shù)學(xué)分析體系的基礎(chǔ)。其基礎(chǔ)性作用不言而喻。Learning研究的大部分問題是在連續(xù)的度量空間進行的，無論代數(shù)還是統(tǒng)計，在研究優(yōu)化 問題的時候，對一個映射的微分或者梯度的分析總是不可避免。而在統(tǒng)計學(xué)中，Marginalization和積分更是密不可分——不過，以解析形式把積分 導(dǎo)出來的情況則不多見。
Partial Differential Equation （偏微分方程)，這主要用于描述動態(tài)過程，或者仿動態(tài)過程。這個學(xué)科在Vision中用得比Learning多，主要用于描述連續(xù)場的運動或者擴散過程。 比如Level set, Optical flow都是這方面的典型例子。
Functional Analysis (泛函分析)， 通俗地，可以理解為微積分從有限維空間到無限維空間的拓展——當(dāng)然了，它實際上遠不止于此。在這個地方，函數(shù)以及其所作用的對象之間存在的對偶關(guān)系扮演了 非常重要的角色。Learning發(fā)展至今，也在向無限維延伸——從研究有限維向量的問題到以無限維的函數(shù)為研究對象。Kernel Learning 和 Gaussian Process 是其中典型的例子——其中的核心概念都是Kernel。很多做Learning的人把Kernel簡單理解為Kernel trick的運用，這就把kernel的意義嚴重弱化了。在泛函里面，Kernel (Inner Product) 是建立整個博大的代數(shù)體系的根本，從metric, transform到spectrum都根源于此。
Measure Theory (測度理論)，這是和實分析關(guān)系非常密切的學(xué)科。但是測度理論并不限于此。從某種意義上說，Real Analysis可以從Lebesgue Measure（勒貝格測度）推演，不過其實還有很多別的測度體系——概率本身就是一種測度。測度理論對于Learning的意義是根本的，現(xiàn)代統(tǒng)計學(xué)整 個就是建立在測度理論的基礎(chǔ)之上——雖然初級的概率論教科書一般不這樣引入。在看一些統(tǒng)計方面的文章的時候，你可能會發(fā)現(xiàn)，它們會把統(tǒng)計的公式改用測度來 表達，這樣做有兩個好處：所有的推導(dǎo)和結(jié)論不用分別給連續(xù)分布和離散分布各自寫一遍了，這兩種東西都可以用同一的測度形式表達：連續(xù)分布的積分基于 Lebesgue測度，離散分布的求和基于計數(shù)測度，而且還能推廣到那種既不連續(xù)又不離散的分布中去（這種東西不是數(shù)學(xué)家的游戲，而是已經(jīng)在實用的東西， 在Dirchlet Process或者Pitman-Yor Process里面會經(jīng)常看到)。而且，即使是連續(xù)積分，如果不是在歐氏空間進行，而是在更一般的拓撲空間（比如微分流形或者變換群），那么傳統(tǒng)的黎曼積 分（就是大學(xué)一年級在微積分課學(xué)的那種）就不work了，你可能需要它們的一些推廣，比如Haar Measure或者Lebesgue-Stieltjes積分。
Topology（拓撲學(xué))，這是學(xué)術(shù)中很基礎(chǔ)的學(xué)科。它一般不直接提 供方法，但是它的很多概念和定理是其它數(shù)學(xué)分支的基石。看很多別的數(shù)學(xué)的時候，你會經(jīng)常接觸這樣一些概念：Open set / Closed set，set basis，Hausdauf, continuous function，metric space, Cauchy sequence, neighborhood, compactness, connectivity。很多這些也許在大學(xué)一年級就學(xué)習(xí)過一些，當(dāng)時是基于極限的概念獲得的。如果，看過拓撲學(xué)之后，對這些概念的認識會有根本性的拓 展。比如，連續(xù)函數(shù)，當(dāng)時是由epison法定義的，就是無論取多小的正數(shù)epsilon，都存在xxx，使得xxx。這是需要一種metric去度量距 離的，在general topology里面，對于連續(xù)函數(shù)的定義連坐標(biāo)和距離都不需要——如果一個映射使得開集的原像是開集，它就是連續(xù)的——至于開集是基于集合論定義的，不 是通常的開區(qū)間的意思。這只是最簡單的例子。當(dāng)然，我們研究learning也許不需要深究這些數(shù)學(xué)概念背后的公理體系，但是，打破原來定義的概念的局限 在很多問題上是必須的——尤其是當(dāng)你研究的東西它不是在歐氏空間里面的時候——正交矩陣，變換群，流形，概率分布的空間，都屬于此。
Differential Manifold (微分流形)， 通俗地說它研究的是平滑的曲面。一個直接的印象是它是不是可以用來fitting一個surface什么的——當(dāng)然這算是一種應(yīng)用，但是這是非常初步的。 本質(zhì)上說，微分流形研究的是平滑的拓撲結(jié)構(gòu)。一個空間構(gòu)成微分流形的基本要素是局部平滑：從拓撲學(xué)來理解，就是它的任意局部都同胚于歐氏空間，從解析的角 度來看，就是相容的局部坐標(biāo)系統(tǒng)。當(dāng)然，在全局上，它不要求和歐氏空間同胚。它除了可以用于刻畫集合上的平滑曲面外，更重要的意義在于，它可以用于研究很 多重要的集合。一個n-維線性空間的全部k-維子空間(k < n)就構(gòu)成了一個微分流形——著名的Grassman Manifold。所有的標(biāo)準(zhǔn)正交陣也構(gòu)成一個流形。一個變換群作用于一個空間形成的軌跡(Orbit) 也是通常會形成流形。在流形上，各種的分析方法，比如映射，微分，積分都被移植過來了。前一兩年在Learning里面火了好長時間的Manifold Learning其實只是研究了這個分支的其中一個概念的應(yīng)用: embedding。其實，它還有很多可以發(fā)掘的空間。
Lie Group Theory (李群論)，一般意義的群論在Learning中被運用的不是很多，群論在Learning中用得較多的是它的一個重要方向Lie group。定義在平滑流行上的群，并且其群運算是平滑的話，那么這就叫李群。因為Learning和編碼不同，更多關(guān)注的是連續(xù)空間，因為Lie group在各種群中對于Learning特別重要。各種子空間，線性變換，非奇異矩陣都基于通常意義的矩陣乘法構(gòu)成李群。在李群中的映射，變換，度量， 劃分等等都對于Learning中代數(shù)方法的研究有重要指導(dǎo)意義。
Graph Theory（圖論)，圖，由于它在表述各種關(guān)系的強大能力以及優(yōu)雅的理論，高效的算法，越來越受到Learning領(lǐng)域的歡迎。經(jīng)典圖論，在 Learning中的一個最重要應(yīng)用就是graphical models了，它被成功運用于分析統(tǒng)計網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)和規(guī)劃統(tǒng)計推斷的流程。Graphical model所取得的成功，圖論可謂功不可沒。在Vision里面，maxflow (graphcut)算法在圖像分割，Stereo還有各種能量優(yōu)化中也廣受應(yīng)用。另外一個重要的圖論分支就是Algebraic graph theory (代數(shù)圖論)，主要運用于圖的譜分析，著名的應(yīng)用包括Normalized Cut和Spectral Clustering。近年來在semi-supervised learning中受到特別關(guān)注。