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樹
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一、 基本概念
樹：是一種遞歸定義的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。樹(Tree)是樹結(jié)構(gòu)的簡稱，它是一種重要的非線性數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。樹或者是一個空樹，即不含有任何的結(jié)點(元素)，或者是一個非空樹，即至少含有一個結(jié)點。
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根：在一棵非空樹中，它有且僅有一個根節(jié)點。
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子樹：在一棵非空樹中，除根外其余所有結(jié)點分屬于 m 個(m≥0)不相交的集合。每個集合又構(gòu)成一棵樹，稱為根結(jié)點的子樹。
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結(jié)點(node)：表示樹中的元素，包括數(shù)據(jù)項及若干指向其子樹的分支。
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結(jié)點的度(degree)：樹中的一個結(jié)點擁有的子樹數(shù)稱為該結(jié)點的度 (Degree)。
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葉子(leaf)：度為 0 的結(jié)點。
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孩子(child)：結(jié)點子樹的根稱為該結(jié)點的孩子。
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雙親(parents)：孩子結(jié)點的上層結(jié)點叫該結(jié)點的。
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兄弟(sibling)：同一雙親的孩子。
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樹的度：一棵樹中最大的結(jié)點度數(shù)。
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結(jié)點的層次(level)：從根結(jié)點算起，根為第一層，它的孩子為第二層……。
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深度(depth)：樹中結(jié)點的最大層次數(shù)。
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有序樹：子樹的位置自左向右有次序關(guān)系的稱為有序樹，順序決定了大小，孩子的次序不能改變。
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無序樹：子樹的位置自左向右無次序關(guān)系的稱為無序樹。
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森林(Forest)：是 m(m≥0) 棵互不相交的樹的集合。樹和森林的概念相近。刪去一棵樹的根，就得到一個森林；反之，加上一個結(jié)點作樹根，森林就變?yōu)橐豢脴洹?/font>
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路徑：若樹中存在一個結(jié)點序列 k1 ， k2 ， … ， ki ，使得 ki 是 ki+1 的雙親 (1≤i<j) ，則稱該結(jié)點序列是從 k1 到 kj 的一條路徑 (Path) 或道路。
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路徑的長度：指路徑所經(jīng)過的邊 ( 即連接兩個結(jié)點的線段 ) 的數(shù)目，等于 j-1 。
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祖先：若樹中結(jié)點 k 到 ks 存在一條路徑，則稱 k 是 ks 的 祖先 (Ancestor) ， ks 是 k 的 子孫 (Descendant) 。結(jié)點 k 的祖先和子孫不包含結(jié)點 k 本身。
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結(jié)點的層數(shù)：(Level)從根起算，根的層數(shù)為1，其余結(jié)點的層數(shù)等于其雙親結(jié)點的層數(shù)加1。雙親在同一層的結(jié)點互為堂兄弟。樹中結(jié)點的最大層數(shù)稱為樹的高度(Height)或深度(Depth)。很多文獻(xiàn)中將樹根的層數(shù)定義為 0 。
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二、樹的其他特性
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1.數(shù)的遞歸定義：
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樹(Tree)是 n(n≥0) 個結(jié)點的有限集 T ， T 為空時稱為空樹，否則它滿足如下兩個條件：
(1) 有且僅有一個特定的稱為根 (Root) 的結(jié)點；
(2) 其余的結(jié)點可分為 m(m≥0) 個互不相交的子集 Tl,T2,…,Tm ，其中每個子集本身又是一棵樹，并稱其為根的子樹(Subree) 。
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注意：樹的遞歸定義刻畫了樹的固有特性：一棵非空樹是由若干棵子樹構(gòu)成的，而子樹又可由若干棵更小的子樹構(gòu)成。
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2.樹的表示：
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樹形圖表示是樹結(jié)構(gòu)的主要表示方法。其他還有廣義表、集合圖、凹入圖三種表示形式。
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3.線性結(jié)構(gòu)和樹型結(jié)構(gòu)之間的區(qū)別：
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線性結(jié)構(gòu)
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樹型結(jié)構(gòu)
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起點
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第一個數(shù)據(jù)元素
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無前驅(qū)
)
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根結(jié)點
(
無前驅(qū)
)
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終點
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最后一個數(shù)據(jù)元素
(
無后繼
)
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多個葉子結(jié)點
(
無后繼
)
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中間
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其它數(shù)據(jù)元素(一個前驅(qū)、一個后繼)
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其它數(shù)據(jù)元素(一個前驅(qū)、多個后繼)
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4.樹形結(jié)構(gòu)的邏輯特征：
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樹形結(jié)構(gòu)的邏輯特征可用樹中結(jié)點之間的父子關(guān)系來描述：
(1) 樹中任一結(jié)點都可以有零個或多個直接后繼 (即孩子) 結(jié)點，但至多只能有一個直接前趨 (即雙親) 結(jié)點。
(2) 樹中只有根結(jié)點無前趨，它是開始結(jié)點；葉結(jié)點無后繼，它們是終端結(jié)點。
(3) 祖先與子孫的關(guān)系是對父子關(guān)系的延拓，它定義了樹中結(jié)點之間的縱向次序。
(4) 有序樹中，同一組兄弟結(jié)點從左到右有長幼之分。
對這一關(guān)系加以延拓，規(guī)定若 k1 和 k2 是兄弟，且 k1 在 k2 的左邊，則 k1 的任一子孫都在 k2 的任一子孫的左邊，那么就定義了樹中結(jié)點之間的橫向次序。
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三、二叉樹的概念
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二叉樹：指度為 2 的有序樹。是最簡單的一種樹結(jié)構(gòu)，在計算機領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。
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二叉樹的遞歸定義：二叉樹或者是一棵空樹，或者是一棵由一個根結(jié)點和兩棵互不相交的分別稱根的左子樹和右子樹所組成的非空樹，左子樹和右子樹又同樣都是一棵二叉樹。
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二叉樹的孩子：二叉樹中，每個結(jié)點的左子樹的根結(jié)點被稱為該結(jié)點的 左孩子 (left child) , 右子樹的根結(jié)點被稱為 右孩子(left child)。
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滿二叉樹：深度為 K 且含有 2K -1 個結(jié)點的二叉樹，當(dāng)樹中的每一層都滿時成為漫二叉樹。
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完全二叉樹：在一棵二叉樹中，除最后一層外，若其余層都是滿的，并且最后一層或者是滿的，或者在最右邊缺少連續(xù)若干個結(jié)點，則稱此樹為完全二叉樹。
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小根堆： 是具有如下特征的一棵完全二叉樹。
??? (1)若樹根接點存在左孩子，則根接點的值(或某個域的值)小于等于左孩子節(jié)點的值(或某個域的值)；
???
(2)若樹根接點存在右孩子，則根接點的值(或某個域的值)小于等于右孩子接點的值(或某個域的值)；
???
(3)以左、右孩子未跟的子樹又各是一個堆。
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大根堆：定義與上述類似，只要把小于等于改為大于等于就可。
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二叉排序樹(Binary Sort Tree)：又稱二叉查找(搜索)樹(Binary Search Tree)。
??? 其定義為：二叉排序樹或者是空樹，或者是滿足如下性質(zhì)的二叉樹：
??? (1)若它的左子樹非空，則左子樹上所有結(jié)點的值均小于根結(jié)點的值；
??? (2)若它的右子樹非空，則右子樹上所有結(jié)點的值均大于根結(jié)點的值；
??? (2)左、右子樹本身又各是一棵二叉排序樹。
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注：以上的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)均比較容易理解，不再畫圖舉例。
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四、一些有關(guān)樹的計算題
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1、一個具有767個結(jié)點的完全二叉樹，其葉子結(jié)點的個數(shù)為多少個？
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因為是完全二叉樹，所以只可能有0個或1個度為1的結(jié)點，其余葉子結(jié)點度為0，其他結(jié)點度為2。
又因為結(jié)點總數(shù)為奇數(shù)，所以不存在度為1的結(jié)點(除根外都是成對出現(xiàn))。
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設(shè)葉子結(jié)點有n0個，其余結(jié)點n2個，則n=n0+n2
又根據(jù)樹的邊數(shù)定義，總共有n-1條邊，則n2*2=n-1
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所以n2=(n-1)/2=383
n0=767-383=384
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2、一棵哈夫曼樹共有9個頂點，則其葉子結(jié)點的個數(shù)為多少個？
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哈夫曼樹一定不存在度為1的結(jié)點，所以設(shè)葉子結(jié)點有n0個，其余結(jié)點n2個
則n=n0+n2
又根據(jù)樹的邊數(shù)定義，總共有n-1條邊，則n2*2=n-1
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所以n2=(n-1)/2=4
n0=9-4=5
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3、在一棵度為3的樹中，有2個度為3的結(jié)點，有1個度為2的結(jié)點，則有幾個度為0的結(jié)點？
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設(shè)有n1個度為1的結(jié)點，n0個度為0的結(jié)點，則：
點數(shù)公式：n=2+1+n1+n0
邊數(shù)公式：n-1=2*3+1*2+n1*1
則下式減上式得到n0=6
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圖
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一、圖的基本定義
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圖：是一種復(fù)雜的非線性數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。
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圖的二元組定義：
圖 G 由兩個集合 V 和 E 組成，記為：
G=(V,E)
??? 其中：
V 是頂點的有窮非空集合，
E 是 V 中頂點偶對(稱為邊)的有窮集。
??? 通常，也將圖 G 的頂點集和邊集分別記為 V(G) 和 E(G) 。 E(G) 可以是空集。若 E(G) 為空，則圖 G 只有頂點而沒有邊。
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有向圖：若圖 G 中的每條邊都是有方向的，則稱 G 為有向圖 (Digraph)。
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無向圖：若圖 G 中的每條邊都是沒有方向的，則稱 G 為無向圖 (Undigraph)。
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混合圖：既有有向邊，也有無向邊的圖
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完全圖：若無向圖中的每個頂點之間存在著一條邊，有向圖中的每兩個定點之間都存在著方向相反的兩條邊，則稱此圖為完全圖。
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注：無向完全圖n個頂點會有n(n-1)/2個頂點。
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稠密圖：當(dāng)一個圖接近完全圖時，則稱它為稠密圖。
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稀疏圖：當(dāng)一個圖含有較少的邊數(shù)，即 e << n(n-1)時，則稱它為稀疏圖。
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二、其他圖的定義
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平凡圖：僅有一個結(jié)點的圖。
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零圖：邊集為空集的圖，即僅有結(jié)點的圖。
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自回路(環(huán))：關(guān)聯(lián)于同一個結(jié)點的邊。
無向平行邊：聯(lián)結(jié)相同兩個結(jié)點的多于1條的無向邊。
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有向平行邊：聯(lián)結(jié)兩個結(jié)點之間的多于1條且方向相同的有向邊。
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簡單圖：不含平行邊和自回路的圖。
度：
1. 在無向圖G＝<V,E>中，與結(jié)點v關(guān)聯(lián)的邊數(shù)，即為結(jié)點度數(shù)deg(v)或d(v)。
??? 2. 在有向圖中，結(jié)點v的出度和入度之和為度數(shù)。
??? 3. 在有向圖D＝<V,E>中，以v為起點的邊之條數(shù)為出度deg+(v)；以v為終點的邊之條數(shù)為入度deg-(v)。
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路徑長度：是指路徑上邊或弧的數(shù)目。
回路：若路徑的第一個頂點和最后一個頂點相同，則這條路徑是一條回路。
簡單路徑：若路徑中頂點沒有重復(fù)出現(xiàn)，則稱這條路徑為簡單路徑。
連通圖：在無向圖中，如果從頂點vi到頂點vj有路徑，則稱vi和vj連通。如果圖中任意兩個頂點之間都連通，則稱該圖為連通圖，否則，將其中的極大連通子圖稱為連通分量。在有向圖中，如果對于每一對頂點vi和vj，從vi到vj和從vj到vi都有路徑，則稱該圖為強連通圖；否則，將其中的極大連通子圖稱為強連通分量。
歐拉通路(回路)：通過圖G的每條邊一次且僅一次，而且走遍每個結(jié)點的通路(回路)，就是歐拉通路(回路)。
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歐拉圖：存在歐拉回路的圖就是歐拉圖。歐拉回路要求邊不能重復(fù)，結(jié)點可以重復(fù)。筆不離開紙，不重復(fù)地走完所有的邊且走過所有結(jié)點，就是所謂的一筆畫。
哈密爾頓軌：含有圖中所有頂點的軌稱作哈密爾頓軌。
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哈密爾頓環(huán)：閉合的哈密爾頓軌稱作哈密爾頓環(huán)。
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哈密爾頓圖：含有哈密爾頓環(huán)的圖稱作哈密爾頓圖。即周游世界問題。
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三、圖與樹的關(guān)系
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圖的生成樹：對于一個擁有n個頂點的無向連通圖，它的邊數(shù)一定多余n-1條。若從中選擇n-1條邊，使得無向圖仍然連通，則由n個頂點及這 n-1條邊(弧)組成的圖被稱為原無向圖的生成樹。顯示了一個無向連通圖的生成樹，雙線圈表示的頂點為生成樹的根結(jié)點。
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森林：對于一個圖G，可以將其所有邊和頂點劃分成若干個樹，則稱此圖為一個森林。(自己寫的...)?
最小生成樹：在一個圖中，每條邊或弧可以擁有一個與之相關(guān)的數(shù)值，我們將它稱為權(quán)。這些權(quán)可以具有一定的含義，比如，表示一個頂點到達(dá)另一個頂點的距離、所花費的時間、線路的造價等等。這種帶權(quán)的圖通常被稱作網(wǎng)。通常我們將權(quán)值總和最小的生成樹稱為最小生成樹。
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注：圖或網(wǎng)的生成樹不是唯一的，從不同的頂點出發(fā)可以生成不同的生成樹，但n個結(jié)點的生成樹一定有n-1條邊
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例：若一個具有n個結(jié)點、k條邊的非聯(lián)通無向圖是一個森林(n>k)，則該森林中必有 n
-k 棵樹.
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??? 原因是假設(shè)有s棵樹，則每棵樹的邊和頂點對應(yīng)關(guān)系分別是ki=ni-1
??? 所以 k=k1+k2+...+ks=(n1-1
)+(n2-1)+...+(ns-1)=n-s
??? 所以 s = n-k
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三、圖的簡單判斷
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(b)是非簡單圖，(a)是完全圖，(a)和(b)都是哈密爾頓圖，其中(a)又是歐拉圖，(d)是樹。
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