如何計算某一天是星期幾?
—— 蔡勒（Zeller）公式
歷史上的某一天是星期幾？未來的某一天是星期幾？關于這個問題，有很多計算公式（兩個通用計算公式和一些分段計算公式），其中最著名的是蔡勒（Zeller）公式。即w=y+[y/4]+[c/4]-2c+[26(m+1)/10]+d-1

公式中的符號含義如下，w：星期；c：世紀-1；y：年（兩位數）；m：月（m大于等于3，小于等于14，即在蔡勒公式中，某年的1、2月要看作上一年的13、14月來計算，比如2003年1月1日要看作2002年的13月1日來計算）；d：日；[ ]代表取整，即只要整數部分。(C是世紀數減一，y是年份后兩位，M是月份，d是日數。1月和2月要按上一年的13月和 14月來算，這時C和y均按上一年取值。)

算出來的W除以7，余數是幾就是星期幾。如果余數是0，則為星期日。

以2049年10月1日（100周年國慶）為例，用蔡勒（Zeller）公式進行計算，過程如下：
蔡勒（Zeller）公式：w=y+[y/4]+[c/4]-2c+[26(m+1)/10]+d-1
=49+[49/4]+[20/4]-2×20+[26× (10+1)/10]+1-1
=49+[12.25]+5-40+[28.6]
=49+12+5-40+28
=54 (除以7余5)
即2049年10月1日（100周年國慶）是星期5。

你的生日（出生時、今年、明年）是星期幾？不妨試一試。

不過，以上公式只適合于1582年10月15日之后的情形（當時的羅馬教皇將愷撒大帝制訂的儒略歷修改成格里歷，即今天使用的公歷）。

過程的推導:(對推理不感興趣的可略過不看)

星期制度是一種有古老傳統的制度。據說因為《圣經·創世紀》中規定上帝用了六
天時間創世紀，第七天休息，所以人們也就以七天為一個周期來安排自己的工作和生
活，而星期日是休息日。從實際的角度來講，以七天為一個周期，長短也比較合適。所
以盡管中國的傳統工作周期是十天（比如王勃《滕王閣序》中說的“十旬休暇”，即是
指官員的工作每十日為一個周期，第十日休假），但后來也采取了西方的星期制度。

　　在日常生活中，我們常常遇到要知道某一天是星期幾的問題。有時候，我們還想知
道歷史上某一天是星期幾。通常，解決這個方法的有效辦法是看日歷，但是我們總不會
隨時隨身帶著日歷，更不可能隨時隨身帶著幾千年的萬年歷。假如是想在計算機編程中
計算某一天是星期幾，預先把一本萬年歷存進去就更不現實了。這時候是不是有辦法通
過什么公式，從年月日推出這一天是星期幾呢？

　　答案是肯定的。其實我們也常常在這樣做。我們先舉一個簡單的例子。比如，知道
了2004年5月1日是星期六，那么2004年5月31日“世界無煙日”是星期幾就不難推算出
來。我們可以掰著指頭從1日數到31日，同時數星期，最后可以數出5月31日是星期一。
其實運用數學計算，可以不用掰指頭。我們知道星期是七天一輪回的，所以5月1日是星
期六，七天之后的5月8日也是星期六。在日期上，8-1=7，正是7的倍數。同樣，5月15
日、5月22日和5月29日也是星期六，它們的日期和5月1日的差值分別是14、21和28，也
都是7的倍數。那么5月31日呢？31-1=30，雖然不是7的倍數，但是31除以7，余數為2，
這就是說，5月31日的星期，是在5月1日的星期之后兩天。星期六之后兩天正是星期一。

　　這個簡單的計算告訴我們計算星期的一個基本思路：首先，先要知道在想算的日子
之前的一個確定的日子是星期幾，拿這一天做為推算的標準，也就是相當于一個計算的
“原點”。其次，知道想算的日子和這個確定的日子之間相差多少天，用7除這個日期
的差值，余數就表示想算的日子的星期在確定的日子的星期之后多少天。如果余數是
0，就表示這兩天的星期相同。顯然，如果把這個作為“原點”的日子選為星期日，那
么余數正好就等于星期幾，這樣計算就更方便了。

　　但是直接計算兩天之間的天數，還是不免繁瑣。比如1982年7月29日和2004年5月
1日之間相隔7947天，就不是一下子能算出來的。它包括三段時間：一，1982年7月29
日以后這一年的剩余天數；二，1983-2003這二十一個整年的全部天數；三，從2004年
元旦到5月1日經過的天數。第二段比較好算，它等于21*365+5=7670天，之所以要加
5，是因為這段時間內有5個閏年。第一段和第三段就比較麻煩了，比如第三段，需要把
5月之前的四個月的天數累加起來，再加上日期值，即31+29+31+30+1=122天。同理，第
一段需要把7月之后的五個月的天數累加起來，再加上7月剩下的天數，一共是155天。
所以總共的相隔天數是122+7670+155=7947天。

　　仔細想想，如果把“原點”日子的日期選為12月31日，那么第一段時間也就是一個
整年，這樣一來，第一段時間和第二段時間就可以合并計算，整年的總數正好相當于兩
個日子的年份差值減一。如果進一步把“原點”日子選為公元前1年12月31日（或者天文
學家所使用的公元0年12月31日），這個整年的總數就正好是想算的日子的年份減一。這
樣簡化之后，就只須計算兩段時間：一，這么多整年的總天數；二，想算的日子是這一
年的第幾天。巧的是，按照公歷的年月設置，這樣反推回去，公元前1年12月31日正好是
星期日，也就是說，這樣算出來的總天數除以7的余數正好是星期幾。那么現在的問題就
只有一個：這么多整年里面有多少閏年。這就需要了解公歷的置閏規則了。

　　我們知道，公歷的平年是365天，閏年是366天。置閏的方法是能被4整除的年份在
2月加一天，但能被100整除的不閏，能被400整除的又閏。因此，像1600、2000、2400
年都是閏年，而1700、1800、1900、2100年都是平年。公元前1年，按公歷也是閏年。

　　因此，對于從公元前1年（或公元0年）12月31日到某一日子的年份Y之間的所有整年
中的閏年數，就等于

[(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400]，

[...]表示只取整數部分。第一項表示需要加上被4整除的年份數，第二項表示需要去掉
被100整除的年份數，第三項表示需要再加上被400整除的年份數。之所以Y要減一，這
樣，我們就得到了第一個計算某一天是星期幾的公式：

W = (Y-1)*365 + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400] + D．              (1)

其中D是這個日子在這一年中的累積天數。算出來的W就是公元前1年（或公元0年）12月
31日到這一天之間的間隔日數。把W用7除，余數是幾，這一天就是星期幾。比如我們來
算2004年5月1日：

W = (2004-1)*365 + [(2004-1)/4] - [(2004-1)/100] + [(2004-1)/400] +
  (31+29+31+30+1)
  = 731702，

731702 / 7 = 104528……6，余數為六，說明這一天是星期六。這和事實是符合的。

　　上面的公式(1)雖然很準確，但是計算出來的數字太大了，使用起來很不方便。仔
細想想，其實這個間隔天數W的用數僅僅是為了得到它除以7之后的余數。這啟發我們是
不是可以簡化這個W值，只要找一個和它余數相同的較小的數來代替，用數論上的術語
來說，就是找一個和它同余的較小的正整數，照樣可以計算出準確的星期數。

　　顯然，W這么大的原因是因為公式中的第一項(Y-1)*365太大了。其實，

(Y-1)*365 = (Y-1) * (364+1)
          = (Y-1) * (7*52+1)
          = 52 * (Y-1) * 7 + (Y-1)，

這個結果的第一項是一個7的倍數，除以7余數為0，因此(Y-1)*365除以7的余數其實就
等于Y-1除以7的余數。這個關系可以表示為：

(Y-1)*365 ≡ Y-1 (mod 7)．

其中，≡是數論中表示同余的符號，mod 7的意思是指在用7作模數（也就是除數）的情
況下≡號兩邊的數是同余的。因此，完全可以用(Y-1)代替(Y-1)*365，這樣我們就得到
了那個著名的、也是最常見到的計算星期幾的公式：

W = (Y-1) + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400] + D．                  (2)

　　這個公式雖然好用多了，但還不是最好用的公式，因為累積天數D的計算也比較麻
煩。是不是可以用月份數和日期直接計算呢？答案也是肯定的。我們不妨來觀察一下各
個月的日數，列表如下：

月　　份：1月　2月　　3月　4月　5月　6月　7月　8月　9月　10月　11月　12月
--------------------------------------------------------------------------
天　　數： 31  28(29)  31  30  31  30  31  31  30  31    30    31

如果把這個天數都減去28（=4*7），不影響W除以7的余數值。這樣我們就得到另一張
表：

月　　份：1月　2月　3月　4月　5月　6月　7月　8月　9月　10月　11月　12月
------------------------------------------------------------------------
剩余天數： 3  0(1)  3    2    3    2    3    3    2    3    2    3
平年累積： 3  3    6    8  11  13  16  19  21  24    26    29
閏年累積： 3  4    7    9  12  14  17  20  22  25    27    30

仔細觀察的話，我們會發現除去1月和2月，3月到7月這五個月的剩余天數值是3,2,3,2,
3；8月到12月這五個月的天數值也是3,2,3,2,3，正好是一個重復。相應的累積天數中，
后一月的累積天數和前一月的累積天數之差減去28就是這個重復。正是因為這種規律的
存在，平年和閏年的累積天數可以用數學公式很方便地表達：

    ╭ d；　　　　　　　　　　　　　　　 　（當M＝1）
D = {  31 + d；　　　　　　　　　    　　  （當M＝2） 　　　　　　　　　 (3)
    ╰ [ 13 * (M+1) / 5 ] - 7 + (M-1) * 28 + d + i．　 （當M≥3）

其中[...]仍表示只取整數部分；M和d分別是想算的日子的月份和日數；平年i=0，閏年
i=1。對于M≥3的表達式需要說明一下：[13*(M+1)/5]-7算出來的就是上面第二個表中的
平年累積值，再加上(M-1)*28就是想算的日子的月份之前的所有月份的總天數。這是一
個很巧妙的辦法，利用取整運算來實現3,2,3,2,3的循環。比如，對2004年5月1日，有：

D = [ 13 * (5+1) / 5 ] - 7 + (5-1) * 28 + 1 + 1
  = 122，

這正是5月1日在2004年的累積天數。

　　假如，我們再變通一下，把1月和2月當成是上一年的“13月”和“14月”，不僅仍
然符合這個公式，而且因為這樣一來，閏日成了上一“年”（一共有14個月）的最后一
天，成了d的一部分，于是平閏年的影響也去掉了，公式就簡化成：

D = [ 13 * (M+1) / 5 ] - 7 + (M-1) * 28 + d．        （3≤M≤14）        (4)

上面計算星期幾的公式，也就可以進一步簡化成：

W = (Y-1) + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400] + [ 13 * (M+1) / 5 ] - 7
  + (M-1) * 28 + d．

因為其中的-7和(M-1)*28兩項都可以被7整除，所以去掉這兩項，W除以7的余數不變，
公式變成：

W = (Y-1) + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400] + [ 13 * (M+1) / 5 ] + d．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(5)

當然，要注意1月和2月已經被當成了上一年的13月和14月，因此在計算1月和2月的日子
的星期時，除了M要按13或14算，年份Y也要減一。比如，2004年1月1日是星期四，用這
個公式來算，有：

W = (2003-1) + [(2003-1)/4] - [(2003-1)/100] + [(2003-1)/400] + [13*(13+1)/5]
  + 1
  = 2002 + 500 - 20 + 5 + 36 + 1
  = 2524；
2524 / 7 = 360……4．這和實際是一致的。

　　公式(5)已經是從年、月、日來算星期幾的公式了，但它還不是最簡練的，對于年
份的處理還有改進的方法。我們先來用這個公式算出每個世紀第一年3月1日的星期，列
表如下：

年份：  1(401,801,…,2001)                  101(501,901,…,2101)
--------------------------------------------------------------------
星期：　4                                      2
====================================================================
年份：201(601,1001,…,2201)                  301(701,1101,…,2301)
--------------------------------------------------------------------
星期：  0                                      5

可以看出，每隔四個世紀，這個星期就重復一次。假如我們把301(701,1101,…,2301)
年3月1日的星期數看成是-2（按數論中對余數的定義，-2和5除以7的余數相同，所以可
以做這樣的變換），那么這個重復序列正好就是一個4,2,0,-2的等差數列。據此，我們
可以得到下面的計算每個世紀第一年3月1日的星期的公式：

W = (4 - C mod 4) * 2 - 4．                                              (6)

式中，C是該世紀的世紀數減一，mod表示取模運算，即求余數。比如，對于2001年3月
1日，C=20，則：

W = (4 - 20 mod 4) * 2 - 4
  = 8 - 4
  = 4．

　　把公式(6)代入公式(5)，經過變換，可得：

(Y-1) + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400] ≡ (4 - C mod 4) * 2 - 1
(mod 7)．                                                              (7)

因此，公式(5)中的(Y-1) + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400]這四項，在計算
每個世紀第一年的日期的星期時，可以用(4 - C mod 4) * 2 - 1來代替。這個公式寫
出來就是：

W = (4 - C mod 4) * 2 - 1 + [13 * (M+1) / 5] + d．                      (8)

有了計算每個世紀第一年的日期星期的公式，計算這個世紀其他各年的日期星期的公式
就很容易得到了。因為在一個世紀里，末尾為00的年份是最后一年，因此就用不著再考
慮“一百年不閏，四百年又閏”的規則，只須考慮“四年一閏”的規則。仿照由公式(1)
簡化為公式(2)的方法，我們很容易就可以從式(8)得到一個比公式(5)更簡單的計算任意
一天是星期幾的公式：

W = (4 - C mod 4) * 2 - 1 + (y-1) + [y/4] + [13 * (M+1) / 5] + d．      (9)

式中，y是年份的后兩位數字。

　　如果再考慮到取模運算不是四則運算，我們還可以把(4 - C mod 4) * 2進一步改寫
成只含四則運算的表達式。因為世紀數減一C除以4的商數q和余數r之間有如下關系：

4q + r = C，

其中r即是 C mod 4，因此，有：

r = C - 4q
  = C - 4 * [C/4]．                                                    (10)

則

(4 - C mod 4) * 2 ＝ (4 - C + 4 * [C/4]) * 2
                  ＝ 8 - 2C + 8 * [C/4]
                  ≡ [C/4] - 2C + 1 (mod 7)．                          (11)

把式(11)代入(9)，得到：

W = [C/4] - 2C + y + [y/4] + [13 * (M+1) / 5] + d - 1．                (12)

這個公式由世紀數減一、年份末兩位、月份和日數即可算出W，再除以7，得到的余數是
幾就表示這一天是星期幾，唯一需要變通的是要把1月和2月當成上一年的13月和14月，
C和y都按上一年的年份取值。因此，人們普遍認為這是計算任意一天是星期幾的最好的
公式。這個公式最早是由德國數學家克里斯蒂安·蔡勒（Christian Zeller, 1822-
1899）在1886年推導出的，因此通稱為蔡勒公式（Zeller’s Formula）。為方便口算，
式中的[13 * (M+1) / 5]也往往寫成[26 * (M+1) / 10]。

　　現在仍然讓我們來算2004年5月1日的星期，顯然C=20，y=4，M=5，d=1，代入蔡勒
公式，有：

W = [20/4] - 40 + 4 + 1 + [13 * (5+1) / 5] + 1 - 1
  = -15．

注意負數不能按習慣的余數的概念求余數，只能按數論中的余數的定義求余。為了方便
計算，我們可以給它加上一個7的整數倍，使它變為一個正數，比如加上70，得到55。
再除以7，余6，說明這一天是星期六。這和實際是一致的，也和公式(2)計算所得的結
果一致。

　　最后需要說明的是，上面的公式都是基于公歷（格里高利歷）的置閏規則來考慮
的。對于儒略歷，蔡勒也推出了相應的公式是：

W = 5 - C + y + [y/4] + [13 * (M+1) / 5] + d - 1．                      (13)

　　這樣，我們終于一勞永逸地解決了不查日歷計算任何一天是星期幾的問題。