如何計(jì)算某一天是星期幾?
—— 蔡勒（Zeller）公式
歷史上的某一天是星期幾？未來(lái)的某一天是星期幾？關(guān)于這個(gè)問(wèn)題，有很多計(jì)算公式（兩個(gè)通用計(jì)算公式和一些分段計(jì)算公式），其中最著名的是蔡勒（Zeller）公式。即w=y+[y/4]+[c/4]-2c+[26(m+1)/10]+d-1
公式中的符號(hào)含義如下，w：星期；c：世紀(jì)-1；y：年（兩位數(shù)）；m：月（m大于等于3，小于等于14，即在蔡勒公式中，某年的1、2月要看作上一年的13、14月來(lái)計(jì)算，比如2003年1月1日要看作2002年的13月1日來(lái)計(jì)算）；d：日；[ ]代表取整，即只要整數(shù)部分。(C是世紀(jì)數(shù)減一，y是年份后兩位，M是月份，d是日數(shù)。1月和2月要按上一年的13月和 14月來(lái)算，這時(shí)C和y均按上一年取值。)
算出來(lái)的W除以7，余數(shù)是幾就是星期幾。如果余數(shù)是0，則為星期日。
以2049年10月1日（100周年國(guó)慶）為例，用蔡勒（Zeller）公式進(jìn)行計(jì)算，過(guò)程如下：
蔡勒（Zeller）公式：w=y+[y/4]+[c/4]-2c+[26(m+1)/10]+d-1
=49+[49/4]+[20/4]-2×20+[26× (10+1)/10]+1-1
=49+[12.25]+5-40+[28.6]
=49+12+5-40+28
=54 (除以7余5)
即2049年10月1日（100周年國(guó)慶）是星期5。
你的生日（出生時(shí)、今年、明年）是星期幾？不妨試一試。
不過(guò)，以上公式只適合于1582年10月15日之后的情形（當(dāng)時(shí)的羅馬教皇將愷撒大帝制訂的儒略歷修改成格里歷，即今天使用的公歷）。
過(guò)程的推導(dǎo):(對(duì)推理不感興趣的可略過(guò)不看)
星期制度是一種有古老傳統(tǒng)的制度。據(jù)說(shuō)因?yàn)椤妒ソ?jīng)·創(chuàng)世紀(jì)》中規(guī)定上帝用了六
天時(shí)間創(chuàng)世紀(jì)，第七天休息，所以人們也就以七天為一個(gè)周期來(lái)安排自己的工作和生
活，而星期日是休息日。從實(shí)際的角度來(lái)講，以七天為一個(gè)周期，長(zhǎng)短也比較合適。所
以盡管中國(guó)的傳統(tǒng)工作周期是十天（比如王勃《滕王閣序》中說(shuō)的“十旬休暇”，即是
指官員的工作每十日為一個(gè)周期，第十日休假），但后來(lái)也采取了西方的星期制度。
在日常生活中，我們常常遇到要知道某一天是星期幾的問(wèn)題。有時(shí)候，我們還想知
道歷史上某一天是星期幾。通常，解決這個(gè)方法的有效辦法是看日歷，但是我們總不會(huì)
隨時(shí)隨身帶著日歷，更不可能隨時(shí)隨身帶著幾千年的萬(wàn)年歷。假如是想在計(jì)算機(jī)編程中
計(jì)算某一天是星期幾，預(yù)先把一本萬(wàn)年歷存進(jìn)去就更不現(xiàn)實(shí)了。這時(shí)候是不是有辦法通
過(guò)什么公式，從年月日推出這一天是星期幾呢？
答案是肯定的。其實(shí)我們也常常在這樣做。我們先舉一個(gè)簡(jiǎn)單的例子。比如，知道
了2004年5月1日是星期六，那么2004年5月31日“世界無(wú)煙日”是星期幾就不難推算出
來(lái)。我們可以掰著指頭從1日數(shù)到31日，同時(shí)數(shù)星期，最后可以數(shù)出5月31日是星期一。
其實(shí)運(yùn)用數(shù)學(xué)計(jì)算，可以不用掰指頭。我們知道星期是七天一輪回的，所以5月1日是星
期六，七天之后的5月8日也是星期六。在日期上，8-1=7，正是7的倍數(shù)。同樣，5月15
日、5月22日和5月29日也是星期六，它們的日期和5月1日的差值分別是14、21和28，也
都是7的倍數(shù)。那么5月31日呢？31-1=30，雖然不是7的倍數(shù)，但是31除以7，余數(shù)為2，
這就是說(shuō)，5月31日的星期，是在5月1日的星期之后兩天。星期六之后兩天正是星期一。
這個(gè)簡(jiǎn)單的計(jì)算告訴我們計(jì)算星期的一個(gè)基本思路：首先，先要知道在想算的日子
之前的一個(gè)確定的日子是星期幾，拿這一天做為推算的標(biāo)準(zhǔn)，也就是相當(dāng)于一個(gè)計(jì)算的
“原點(diǎn)”。其次，知道想算的日子和這個(gè)確定的日子之間相差多少天，用7除這個(gè)日期
的差值，余數(shù)就表示想算的日子的星期在確定的日子的星期之后多少天。如果余數(shù)是
0，就表示這兩天的星期相同。顯然，如果把這個(gè)作為“原點(diǎn)”的日子選為星期日，那
么余數(shù)正好就等于星期幾，這樣計(jì)算就更方便了。
但是直接計(jì)算兩天之間的天數(shù)，還是不免繁瑣。比如1982年7月29日和2004年5月
1日之間相隔7947天，就不是一下子能算出來(lái)的。它包括三段時(shí)間：一，1982年7月29
日以后這一年的剩余天數(shù)；二，1983-2003這二十一個(gè)整年的全部天數(shù)；三，從2004年
元旦到5月1日經(jīng)過(guò)的天數(shù)。第二段比較好算，它等于21*365+5=7670天，之所以要加
5，是因?yàn)檫@段時(shí)間內(nèi)有5個(gè)閏年。第一段和第三段就比較麻煩了，比如第三段，需要把
5月之前的四個(gè)月的天數(shù)累加起來(lái)，再加上日期值，即31+29+31+30+1=122天。同理，第
一段需要把7月之后的五個(gè)月的天數(shù)累加起來(lái)，再加上7月剩下的天數(shù)，一共是155天。
所以總共的相隔天數(shù)是122+7670+155=7947天。
仔細(xì)想想，如果把“原點(diǎn)”日子的日期選為12月31日，那么第一段時(shí)間也就是一個(gè)
整年，這樣一來(lái)，第一段時(shí)間和第二段時(shí)間就可以合并計(jì)算，整年的總數(shù)正好相當(dāng)于兩
個(gè)日子的年份差值減一。如果進(jìn)一步把“原點(diǎn)”日子選為公元前1年12月31日（或者天文
學(xué)家所使用的公元0年12月31日），這個(gè)整年的總數(shù)就正好是想算的日子的年份減一。這
樣簡(jiǎn)化之后，就只須計(jì)算兩段時(shí)間：一，這么多整年的總天數(shù)；二，想算的日子是這一
年的第幾天。巧的是，按照公歷的年月設(shè)置，這樣反推回去，公元前1年12月31日正好是
星期日，也就是說(shuō)，這樣算出來(lái)的總天數(shù)除以7的余數(shù)正好是星期幾。那么現(xiàn)在的問(wèn)題就
只有一個(gè)：這么多整年里面有多少閏年。這就需要了解公歷的置閏規(guī)則了。
我們知道，公歷的平年是365天，閏年是366天。置閏的方法是能被4整除的年份在
2月加一天，但能被100整除的不閏，能被400整除的又閏。因此，像1600、2000、2400
年都是閏年，而1700、1800、1900、2100年都是平年。公元前1年，按公歷也是閏年。
因此，對(duì)于從公元前1年（或公元0年）12月31日到某一日子的年份Y之間的所有整年
中的閏年數(shù)，就等于
[(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400]，
[...]表示只取整數(shù)部分。第一項(xiàng)表示需要加上被4整除的年份數(shù)，第二項(xiàng)表示需要去掉
被100整除的年份數(shù)，第三項(xiàng)表示需要再加上被400整除的年份數(shù)。之所以Y要減一，這
樣，我們就得到了第一個(gè)計(jì)算某一天是星期幾的公式：
W = (Y-1)*365 + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400] + D． (1)
其中D是這個(gè)日子在這一年中的累積天數(shù)。算出來(lái)的W就是公元前1年（或公元0年）12月
31日到這一天之間的間隔日數(shù)。把W用7除，余數(shù)是幾，這一天就是星期幾。比如我們來(lái)
算2004年5月1日：
W = (2004-1)*365 + [(2004-1)/4] - [(2004-1)/100] + [(2004-1)/400] +
(31+29+31+30+1)
= 731702，
731702 / 7 = 104528……6，余數(shù)為六，說(shuō)明這一天是星期六。這和事實(shí)是符合的。
上面的公式(1)雖然很準(zhǔn)確，但是計(jì)算出來(lái)的數(shù)字太大了，使用起來(lái)很不方便。仔
細(xì)想想，其實(shí)這個(gè)間隔天數(shù)W的用數(shù)僅僅是為了得到它除以7之后的余數(shù)。這啟發(fā)我們是
不是可以簡(jiǎn)化這個(gè)W值，只要找一個(gè)和它余數(shù)相同的較小的數(shù)來(lái)代替，用數(shù)論上的術(shù)語(yǔ)
來(lái)說(shuō)，就是找一個(gè)和它同余的較小的正整數(shù)，照樣可以計(jì)算出準(zhǔn)確的星期數(shù)。
顯然，W這么大的原因是因?yàn)楣街械牡谝豁?xiàng)(Y-1)*365太大了。其實(shí)，
(Y-1)*365 = (Y-1) * (364+1)
= (Y-1) * (7*52+1)
= 52 * (Y-1) * 7 + (Y-1)，
這個(gè)結(jié)果的第一項(xiàng)是一個(gè)7的倍數(shù)，除以7余數(shù)為0，因此(Y-1)*365除以7的余數(shù)其實(shí)就
等于Y-1除以7的余數(shù)。這個(gè)關(guān)系可以表示為：
(Y-1)*365 ≡ Y-1 (mod 7)．
其中，≡是數(shù)論中表示同余的符號(hào)，mod 7的意思是指在用7作模數(shù)（也就是除數(shù)）的情
況下≡號(hào)兩邊的數(shù)是同余的。因此，完全可以用(Y-1)代替(Y-1)*365，這樣我們就得到
了那個(gè)著名的、也是最常見(jiàn)到的計(jì)算星期幾的公式：
W = (Y-1) + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400] + D． (2)
這個(gè)公式雖然好用多了，但還不是最好用的公式，因?yàn)槔鄯e天數(shù)D的計(jì)算也比較麻
煩。是不是可以用月份數(shù)和日期直接計(jì)算呢？答案也是肯定的。我們不妨來(lái)觀察一下各
個(gè)月的日數(shù)，列表如下：
月 份：1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月
--------------------------------------------------------------------------
天 數(shù)： 31 28(29) 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31
如果把這個(gè)天數(shù)都減去28（=4*7），不影響W除以7的余數(shù)值。這樣我們就得到另一張
表：
月 份：1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月
------------------------------------------------------------------------
剩余天數(shù)： 3 0(1) 3 2 3 2 3 3 2 3 2 3
平年累積： 3 3 6 8 11 13 16 19 21 24 26 29
閏年累積： 3 4 7 9 12 14 17 20 22 25 27 30
仔細(xì)觀察的話，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)除去1月和2月，3月到7月這五個(gè)月的剩余天數(shù)值是3,2,3,2,
3；8月到12月這五個(gè)月的天數(shù)值也是3,2,3,2,3，正好是一個(gè)重復(fù)。相應(yīng)的累積天數(shù)中，
后一月的累積天數(shù)和前一月的累積天數(shù)之差減去28就是這個(gè)重復(fù)。正是因?yàn)檫@種規(guī)律的
存在，平年和閏年的累積天數(shù)可以用數(shù)學(xué)公式很方便地表達(dá)：
╭ d； （當(dāng)M＝1）
D = { 31 + d； （當(dāng)M＝2） (3)
╰ [ 13 * (M+1) / 5 ] - 7 + (M-1) * 28 + d + i． （當(dāng)M≥3）
其中[...]仍表示只取整數(shù)部分；M和d分別是想算的日子的月份和日數(shù)；平年i=0，閏年
i=1。對(duì)于M≥3的表達(dá)式需要說(shuō)明一下：[13*(M+1)/5]-7算出來(lái)的就是上面第二個(gè)表中的
平年累積值，再加上(M-1)*28就是想算的日子的月份之前的所有月份的總天數(shù)。這是一
個(gè)很巧妙的辦法，利用取整運(yùn)算來(lái)實(shí)現(xiàn)3,2,3,2,3的循環(huán)。比如，對(duì)2004年5月1日，有：
D = [ 13 * (5+1) / 5 ] - 7 + (5-1) * 28 + 1 + 1
= 122，
這正是5月1日在2004年的累積天數(shù)。
假如，我們?cè)僮兺ㄒ幌拢?月和2月當(dāng)成是上一年的“13月”和“14月”，不僅仍
然符合這個(gè)公式，而且因?yàn)檫@樣一來(lái)，閏日成了上一“年”（一共有14個(gè)月）的最后一
天，成了d的一部分，于是平閏年的影響也去掉了，公式就簡(jiǎn)化成：
D = [ 13 * (M+1) / 5 ] - 7 + (M-1) * 28 + d． （3≤M≤14） (4)
上面計(jì)算星期幾的公式，也就可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化成：
W = (Y-1) + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400] + [ 13 * (M+1) / 5 ] - 7
+ (M-1) * 28 + d．
因?yàn)槠渲械?7和(M-1)*28兩項(xiàng)都可以被7整除，所以去掉這兩項(xiàng)，W除以7的余數(shù)不變，
公式變成：
W = (Y-1) + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400] + [ 13 * (M+1) / 5 ] + d．
(5)
當(dāng)然，要注意1月和2月已經(jīng)被當(dāng)成了上一年的13月和14月，因此在計(jì)算1月和2月的日子
的星期時(shí)，除了M要按13或14算，年份Y也要減一。比如，2004年1月1日是星期四，用這
個(gè)公式來(lái)算，有：
W = (2003-1) + [(2003-1)/4] - [(2003-1)/100] + [(2003-1)/400] + [13*(13+1)/5]
+ 1
= 2002 + 500 - 20 + 5 + 36 + 1
= 2524；
2524 / 7 = 360……4．這和實(shí)際是一致的。
公式(5)已經(jīng)是從年、月、日來(lái)算星期幾的公式了，但它還不是最簡(jiǎn)練的，對(duì)于年
份的處理還有改進(jìn)的方法。我們先來(lái)用這個(gè)公式算出每個(gè)世紀(jì)第一年3月1日的星期，列
表如下：
年份： 1(401,801,…,2001) 101(501,901,…,2101)
--------------------------------------------------------------------
星期： 4 2
==============================================
年份：201(601,1001,…,2201) 301(701,1101,…,2301)
--------------------------------------------------------------------
星期： 0 5
可以看出，每隔四個(gè)世紀(jì)，這個(gè)星期就重復(fù)一次。假如我們把301(701,1101,…,2301)
年3月1日的星期數(shù)看成是-2（按數(shù)論中對(duì)余數(shù)的定義，-2和5除以7的余數(shù)相同，所以可
以做這樣的變換），那么這個(gè)重復(fù)序列正好就是一個(gè)4,2,0,-2的等差數(shù)列。據(jù)此，我們
可以得到下面的計(jì)算每個(gè)世紀(jì)第一年3月1日的星期的公式：
W = (4 - C mod 4) * 2 - 4． (6)
式中，C是該世紀(jì)的世紀(jì)數(shù)減一，mod表示取模運(yùn)算，即求余數(shù)。比如，對(duì)于2001年3月
1日，C=20，則：
W = (4 - 20 mod 4) * 2 - 4
= 8 - 4
= 4．
把公式(6)代入公式(5)，經(jīng)過(guò)變換，可得：
(Y-1) + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400] ≡ (4 - C mod 4) * 2 - 1
(mod 7)． (7)
因此，公式(5)中的(Y-1) + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400]這四項(xiàng)，在計(jì)算
每個(gè)世紀(jì)第一年的日期的星期時(shí)，可以用(4 - C mod 4) * 2 - 1來(lái)代替。這個(gè)公式寫(xiě)
出來(lái)就是：
W = (4 - C mod 4) * 2 - 1 + [13 * (M+1) / 5] + d． (8)
有了計(jì)算每個(gè)世紀(jì)第一年的日期星期的公式，計(jì)算這個(gè)世紀(jì)其他各年的日期星期的公式
就很容易得到了。因?yàn)樵谝粋€(gè)世紀(jì)里，末尾為00的年份是最后一年，因此就用不著再考
慮“一百年不閏，四百年又閏”的規(guī)則，只須考慮“四年一閏”的規(guī)則。仿照由公式(1)
簡(jiǎn)化為公式(2)的方法，我們很容易就可以從式(8)得到一個(gè)比公式(5)更簡(jiǎn)單的計(jì)算任意
一天是星期幾的公式：
W = (4 - C mod 4) * 2 - 1 + (y-1) + [y/4] + [13 * (M+1) / 5] + d． (9)
式中，y是年份的后兩位數(shù)字。
如果再考慮到取模運(yùn)算不是四則運(yùn)算，我們還可以把(4 - C mod 4) * 2進(jìn)一步改寫(xiě)
成只含四則運(yùn)算的表達(dá)式。因?yàn)槭兰o(jì)數(shù)減一C除以4的商數(shù)q和余數(shù)r之間有如下關(guān)系：
4q + r = C，
其中r即是 C mod 4，因此，有：
r = C - 4q
= C - 4 * [C/4]． (10)
則
(4 - C mod 4) * 2 ＝ (4 - C + 4 * [C/4]) * 2
＝ 8 - 2C + 8 * [C/4]
≡ [C/4] - 2C + 1 (mod 7)． (11)
把式(11)代入(9)，得到：
W = [C/4] - 2C + y + [y/4] + [13 * (M+1) / 5] + d - 1． (12)
這個(gè)公式由世紀(jì)數(shù)減一、年份末兩位、月份和日數(shù)即可算出W，再除以7，得到的余數(shù)是
幾就表示這一天是星期幾，唯一需要變通的是要把1月和2月當(dāng)成上一年的13月和14月，
C和y都按上一年的年份取值。因此，人們普遍認(rèn)為這是計(jì)算任意一天是星期幾的最好的
公式。這個(gè)公式最早是由德國(guó)數(shù)學(xué)家克里斯蒂安·蔡勒（Christian Zeller, 1822-
1899）在1886年推導(dǎo)出的，因此通稱為蔡勒公式（Zeller’s Formula）。為方便口算，
式中的[13 * (M+1) / 5]也往往寫(xiě)成[26 * (M+1) / 10]。
現(xiàn)在仍然讓我們來(lái)算2004年5月1日的星期，顯然C=20，y=4，M=5，d=1，代入蔡勒
公式，有：
W = [20/4] - 40 + 4 + 1 + [13 * (5+1) / 5] + 1 - 1
= -15．
注意負(fù)數(shù)不能按習(xí)慣的余數(shù)的概念求余數(shù)，只能按數(shù)論中的余數(shù)的定義求余。為了方便
計(jì)算，我們可以給它加上一個(gè)7的整數(shù)倍，使它變?yōu)橐粋€(gè)正數(shù)，比如加上70，得到55。
再除以7，余6，說(shuō)明這一天是星期六。這和實(shí)際是一致的，也和公式(2)計(jì)算所得的結(jié)
果一致。
最后需要說(shuō)明的是，上面的公式都是基于公歷（格里高利歷）的置閏規(guī)則來(lái)考慮
的。對(duì)于儒略歷，蔡勒也推出了相應(yīng)的公式是：
W = 5 - C + y + [y/4] + [13 * (M+1) / 5] + d - 1． (13)
這樣，我們終于一勞永逸地解決了不查日歷計(jì)算任何一天是星期幾的問(wèn)題。
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