習題2.2沒有全部做，我讀書的速度遠遠超過做習題的進度，沒辦法，時間有限，晚上的時間基本用來看書了，習題也都是在工作間隙做的，慢慢來了，前兩章讀完再總結下。回到2.3節，這一節在前幾節介紹數值型符號數據的基礎上引入了符號數據，將任意符號作為數據的能力非常有趣，并給出了一個符號求導的例子，實在是太漂亮了。
習題2.53，直接看結果：
> (list 'a 'b 'c)
(a b c)
> (list (list 'george))
((george))
> (cdr '((x1 x2) (y1 y2)))
((y1 y2))
> (cadr '((x1 x2) (y1 y2)))
(y1 y2)
> (pair? (car '(a short list)))
#f
> (memq? 'red '((red shoes) (blue socks)))
#f
> (memq? 'red '(red shoes blue socks))
(red shoes blue socks)
習題2.54，equal?過程的定義，遞歸定義，很容易
(define (equal? a b)
(cond ((and (not (pair? a)) (not (pair? b)) (eq? a b)) #t)
((and (pair? a) (pair? b))
(and (equal? (car a) (car b)) (equal? (cdr a) (cdr b))))
(else
(display "a and b are not equal"))))
注意，在DrScheme實現中,eq?可以用于比較數值，比如(eq? 1 1)也是返回真
習題2.55，表達式(car ''abracadabra)其實就是
(car (quote (quote abracadabra)))，也就是(car '(quote abracadabra))，顯然將返回quote
習題2.56，求冪表達式的導數，學著書中的代碼寫，也很容易了，先寫出constructor和selector：
(define (make-exponentiation base e)
(cond ((= e 0) 1)
((= e 1) base)
(else
(list '** base e))))
(define (base x) (cadr x))
(define (exponent x) (caddr x))
(define (exponentiation? x)
(and (pair? x) (eq? (car x) '**)))
用**表示冪運算，因此(make-exponentiation x 3)表示的就是x的3次方。
修改deriv過程，增加一個條件分支：
(define (deriv exp var)
(cond ((number? exp) 0)
((variable? exp)
(if (same-variable? exp var) 1 0))
((sum? exp)
(make-sum (deriv (addend exp) var)
(deriv (augend exp) var)))
((product? exp)
(make-sum
(make-product (multiplier exp)
(deriv (multiplicand exp) var))
(make-product (multiplicand exp)
(deriv (multiplier exp) var))))
((exponentiation? exp)
(let ((n (exponent exp)))
(make-product (make-product n (make-exponentiation (base exp) (- n 1))) (deriv (base exp) var))))
(else
error "unknown expression type -- Deriv" exp)))
粗體的就是我們增加的部分，兩次運用make-product做乘法。
測試下：
> (deriv '(** x 3) 'x)
(* 3 (** x 2))
> (deriv '(** (+ x 1) 5) 'x)
(* 5 (** (+ x 1) 4))
習題2.57，只要修改selector函數就夠了，如果是多項的和或者積，那么被乘數和被加數也是列表，可以直接表示為符號表達式而不求值
(define (augend s)
(let ((rest (cddr s)))
(if (null? (cdr rest))
(car rest)
(cons '+ rest))))
(define (multiplicand p)
(let ((rest (cddr p)))
(if (null? (cdr rest))
(car rest)
(cons '* rest))))
習題2.58，分為a和b，a倒是很容易解答，修改下謂詞、選擇函數和構造函數就可以了，將運算符號放在列表中間，注意，題目已經提示，假設+和*的參數都是兩個，因此
(a)題目：
(define (=number? x y)
(and (number? x) (= x y)))
(define (variable? x) (symbol? x))
(define (same-variable? v1 v2) (and (variable? v1) (variable? v2) (eq? v1 v2)))
(define (sum? x)
(let ((op (cadr x)))
(and (symbol? op) (eq? op '+))))
(define (addend s) (car s))
(define (augend s) (caddr s))
(define (make-sum a1 a2)
(cond ((=number? a1 0) a2)
((=number? a2 0) a1)
((and (number? a1) (number? a2)) (+ a1 a2))
(else
(list a1 '+ a2))))
(define (product? x)
(let ((op (cadr x)))
(and (symbol? op) (eq? op '*))))
(define (multiplier x) (car x))
(define (multiplicand x) (caddr x))
(define (make-product a1 a2)
(cond ((or (=number? a1 0) (=number? a2 0)) 0)
((=number? a1 1) a2)
((=number? a2 1) a1)
((and (number? a1) (number? a2)) (* a1 a2))
(else
(list a1 '* a2))))
測試下：
> (deriv '(x + (3 * (x + (y + 2)))) 'x)
4
> (deriv '(x + 3) 'x)
1
> (deriv '((2 * x) + 3) 'x)
2
> (deriv '((2 * x) + (3 * x)) 'x)
5
習題2.59，求集合的交集，遍歷集合set1，如果(car set1)不在集合set2中，就將它加入set2，否則繼續，當集合set1為空時返回set2。
(define (union-set set1 set2)
(cond ((null? set1) set2)
((null? set2) set1)
((element-of-set? (car set1) set2) set2)
(else
(union-set set1 (cons (car set1) set2)))))
習題2.60，需要修改的僅僅是adjoin-set：
(define (adjoin-set x set)
(cons x set))
效率由原來的n變成常量。其他操作的效率與原來的一樣。有重復元素的集合，比如成績單、錢幣等等。
習題2.61，關鍵點就是在于插入元素后要保持集合仍然是排序的，如果x小于(car set)，那么最小的就應該排在前面了，如果大于(car set)，那么將(car set)保留下來，繼續往下找：
(define (adjoin-set x set)
(cond ((null? set) (list x))
((= x (car set)) set)
((< x (car set)) (cons x set))
(else
(cons (car set) (adjoin-set x (cdr set))))))
習題2.62，與求交集類似：
(define (union-set set1 set2)
(cond ((null? set1) set2)
((null? set2) set1)
(else
(let ((x1 (car set1))
(x2 (car set2)))
(cond ((= x1 x2)
(cons x1
(union-set (cdr set1) (cdr set2))))
((< x1 x2)
(cons x1
(union-set (cdr set1) set2)))
((> x1 x2)
(cons x2
(union-set set1 (cdr set2)))))))))
測試下：
> (define set1 (list 2 3 4 5 9 20))
> (define set2 (list 1 2 3 5 6 8))
> (union-set set1 set2)
(1 2 3 4 5 6 8 9 20)
習題2.63，其實兩個變換過程都可以看成是對樹的遍歷
a)通過測試可以得知，產生一樣的結果，兩者都是中序遍歷二叉樹，書中圖的那些樹結果都是(1 3 5 7 9 11)
b)對于tree->list-1過程來說，考慮append過程，并且每一步并沒有改變搜索規模，而append的增長階是O(n)，因此tree->list-1的增長階應該是O(n2)，n的二次方
而對于tree-list-2過程，增長階顯然是O(n)
習題2.64，這題非常有趣，用一個數組構造一棵平衡的樹，顯然，方法就是將數組對半拆分，并分別對兩個部分進行構造，這兩個部分還可以拆分直到遇到數組元素（左右子樹都是'())，中間元素作為entry。這個過程可以一直遞歸下去。這里采用的正是這種方式
a)解釋如上，(1 3 5 7 9 11)將形成下列的二叉樹：
5
/ \
1 9
\ / \
3 7 11
顯然，列表的對半拆分，以5作為根節點，然后左列表是(1 3)，右列表是(7 9 11)，左列表拆分就以1為節點，右列表拆分以9為節點，其他兩個為子樹。
b)仍然是O(n)
習題2.65，很簡單了，轉過來轉過去就是了：
(define (union-set-1 tree1 tree2)
(list->tree (union-set (tree->list-2 tree1)
(tree->list-2 tree2))))
(define (intersection-set-1 tree1 tree2)
(list->tree (intersection-set (tree->list-2 tree1)
(tree->list-2 tree2))))
習題2.66，與element-of-set?類似：
(define (lookup given-key set-of-records)
(cond ((null? set-of-records) #f)
((= given-key (key (entry set-of-records))) (entry set-of-records))
((< given-key (key (entry set-of-records)))
(lookup given-key (left-branch set-of-records)))
((> given-key (key (entry set-of-records)))
(lookup given-key (right-branch set-of-records)))))
習題2.67，結果是(a d a b b c a)
，DrScheme字母符號是小寫
習題2.68，使用到memq過程用于判斷符號是否在列表中：
(define (encode-symbol symbol tree)
(define (iter branch)
(if (leaf? branch)
'()
(if (memq symbol (symbols (left-branch branch)))
(cons 0 (iter (left-branch branch)))
(cons 1 (iter (right-branch branch))))
))
(if (memq symbol (symbols tree))
(iter tree)
(display "bad symbol -- UNKNOWN SYMBOL")))
習題2.69，因為make-leaf-set產生的已經排序的集合，因此從小到大兩兩合并即可：
(define (generate-huffman-tree pairs)
(successive-merge (make-leaf-set pairs)))
(define (successive-merge set)
(if (= 1 (length set))
(car set)
(successive-merge
(adjoin-set (make-code-tree (car set) (cadr set)) (cddr set)))))
習題2.70，利用generate-huffman-tree和encode過程得到消息，使用length測量下消息長度就知道多少位了：
(define roll-tree (generate-huffman-tree '((A 2) (NA 16) (BOOM 1) (SHA 3) (GET 2) (YIP 9) (JOB 2) (WAH 1))))
(define message (encode
'(Get a job Sha na na na na na na na na Get a job Sha na na na na na na na na Wah yip yip yip yip yip yip yip yip yip Sha boom)
roll-tree))
> (length message)
84
通過huffman編碼后的位數是84位，如果采用定長編碼，因為需要表示8個不同符號，因此需要log2(8)=3位二進制，總位數至少是36*3=108位，壓縮比為22.22%
習題2.71，很顯然，最頻繁出現的符號肯定在根節點下來的子樹，位數是1，而最不頻繁的符號是n-1位