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方差(Variance)
什么是方差
方差和標(biāo)準(zhǔn)差是測(cè)度數(shù)據(jù)變異程度的最重要、最常用的指標(biāo)。
方差是各個(gè)數(shù)據(jù)與其算術(shù)平均數(shù)的離差平方和的平均數(shù)，通常以σ2表示。方差的計(jì)量單位和量綱不便于從經(jīng)濟(jì)意義上進(jìn)行解釋，所以實(shí)際統(tǒng)計(jì)工作中多用方差的算術(shù)平方根——標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)測(cè)度統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的差異程度。
標(biāo)準(zhǔn)差又稱均方差，一般用σ表示。方差和標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算也分為簡(jiǎn)單平均法和加權(quán)平均法，另外，對(duì)于總體數(shù)據(jù)和樣本數(shù)據(jù)，公式略有不同。
方差的計(jì)算公式
設(shè)總體方差為σ2，對(duì)于未經(jīng)分組整理的原始數(shù)據(jù)，方差的計(jì)算公式為：
對(duì)于分組數(shù)據(jù)，方差的計(jì)算公式為：
方差的平方根即為標(biāo)準(zhǔn)差，其相應(yīng)的計(jì)算公式為：
未分組數(shù)據(jù)：
分組數(shù)據(jù)：
樣本方差和標(biāo)準(zhǔn)差
樣本方差與總體方差在計(jì)算上的區(qū)別是：總體方差是用數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)或總頻數(shù)去除離差平方和，而樣本方差則是用樣本數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)或總頻數(shù)減1去除離差平方和，其中樣本數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)減1即n－1稱為自由度。設(shè)樣本方差為
，根據(jù)未分組數(shù)據(jù)和分組數(shù)據(jù)計(jì)算樣本方差的公式分別為：
未分組數(shù)據(jù)：
分組數(shù)據(jù)：
未分組數(shù)據(jù)：
分組數(shù)據(jù)：
例:考察一臺(tái)機(jī)器的生產(chǎn)能力，利用抽樣程序來(lái)檢驗(yàn)生產(chǎn)出來(lái)的產(chǎn)品質(zhì)量，假設(shè)搜集的數(shù)據(jù)如下：
| 3.43 |
3.45 |
3.43 |
3.48 |
3.52 |
3.50 |
3.39 |
| 3.48 |
3.41 |
3.38 |
3.49 |
3.45 |
3.51 |
3.50 |
根據(jù)該行業(yè)通用法則：如果一個(gè)樣本中的14個(gè)數(shù)據(jù)項(xiàng)的方差大于0.005，則該機(jī)器必須關(guān)閉待修。問(wèn)此時(shí)的機(jī)器是否必須關(guān)閉？
解：根據(jù)已知數(shù)據(jù)，計(jì)算
因此，該機(jī)器工作正常。
方差和標(biāo)準(zhǔn)差也是根據(jù)全部數(shù)據(jù)計(jì)算的，它反映了每個(gè)數(shù)據(jù)與其均值相比平均相差的數(shù)值，因此它能準(zhǔn)確地反映出數(shù)據(jù)的離散程度。方差和標(biāo)準(zhǔn)差是實(shí)際中應(yīng)用最廣泛的離散程度測(cè)度值。
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方差
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在概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)中，一個(gè)隨機(jī)變量的“方差”描述的是它的離散程度，也就是該變量離其期望值的距離。 一個(gè)實(shí)隨機(jī)變量的方差也稱為它的二階距，恰巧也是它的二階culmulent。 方差的算術(shù)平方根稱為該隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差。
[編輯] 定義
設(shè) X 為服從分布 F 的隨機(jī)變量，則稱 Var(X) = E(X − EX)2 為隨機(jī)變量 X 或者分布 F 的方差。
如果 
是隨機(jī)變數(shù) X 的期望值 (平均數(shù)) , 則其變異數(shù)為: 
[編輯] 特性
在樣本空間Ω上存在有限期望和方差的隨機(jī)變量構(gòu)成一個(gè)希爾伯特空間： L^2(Ω, dP)，不過(guò)這里的內(nèi)積和長(zhǎng)度跟方差，標(biāo)準(zhǔn)差還是不大一樣。 所以，我們得把這個(gè)空間“除”常變量構(gòu)成的子空間，也就是說(shuō)把相差一個(gè)常數(shù)的 所有原來(lái)那個(gè)空間的隨機(jī)變量做成一個(gè)等價(jià)類。這還是一個(gè)新的無(wú)窮維線性空間， 并且有一個(gè)從老空間內(nèi)積誘導(dǎo)出來(lái)的新內(nèi)積，而這個(gè)內(nèi)積就是方差
[編輯] 一般化
如果X是一個(gè)向量其取值范圍在Rn空間，并且其每個(gè)元素都是一個(gè)一維隨機(jī)變量，我們就把X稱為隨機(jī)向量。隨機(jī)向量的方差是一維隨機(jī)變量方差的自然推廣，其定義為E[(X − μ)(X − μ)T], 其中 μ = E(X) ，XT是X的轉(zhuǎn)秩. 這個(gè)方差是一個(gè)非負(fù)定方陣，通常稱為協(xié)方差矩陣。
如果X是一個(gè)復(fù)隨機(jī)變量，那么其方差定義則為E[(X − μ)(X − μ)*], 其中X*是X的復(fù)共軛向量。根據(jù)這個(gè)定義，方差為實(shí)數(shù)。
[編輯] 歷史
方差這個(gè)詞首先由Ronald Fisher在論文The Correlation Between Relatives on the Supposition of Mendelian Inheritance中引入.
[編輯] 參考出處
- ^ Press, W. H., Teukolsky, S. A., Vetterling, W. T. & Flannery, B. P. (1986) Numerical recipes: The art of scientific computing. Cambridge: Cambridge University Press. (online)
posted on 2009-03-12 22:51
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