第六章　二進制、八進制、十六進制

6.1 為什么需要八進制和十六進制?

6.2 二、八、十六進制數轉換到十進制數

? 6.2.1 二進制數轉換為十進制數

? 6.2.2 八進制數轉換為十進制數

? 6.2.3 八進制數的表達方法

? 6.2.4 八進制數在轉義符中的使用

? 6.2.5 十六進制數轉換成十進制數

? 6.2.6 十六進制數的表達方法

? 6.2.7 十六進制數在轉義符中的使用

6.3 十進制數轉換到二、八、十六進制數

? 6.3.1 10進制數轉換為2進制數

? 6.3.2 10進制數轉換為8、16進制數

6.4 二、十六進制數互相轉換

6.5 原碼、反碼、補碼

6.6 通過調試查看變量的值

6.7 本章小結

這是一節“前不著村后不著店”的課。不同進制之間的轉換純粹是數學上的計算。不過，你不必擔心會有么復雜，無非是乘或除的計算。

生活中其實很多地方的計數方法都多少有點不同進制的影子。

比如我們最常用的10進制，其實起源于人有10個指頭。如果我們的祖先始終沒有擺脫手腳不分的境況，我想我們現在一定是在使用20進制。

至于二進制……沒有襪子稱為0只襪子，有一只襪子稱為1只襪子，但若有兩襪子，則我們常說的是：1雙襪子。

生活中還有：七進制，比如星期。十六進制，比如小時或“一打”，六十進制，比如分鐘或角度……

?

6.1 為什么需要八進制和十六進制?

編程中，我們常用的還是10進制……必竟C/C++是高級語言。

比如：

int a = 100,b = 99;

不過，由于數據在計算機中的表示，最終以二進制的形式存在，所以有時候使用二進制，可以更直觀地解決問題。

但，二進制數太長了。比如int 類型占用4個字節，32位。比如100，用int類型的二進制數表達將是：

0000 0000 0000 0000 0110 0100

面對這么長的數進行思考或操作，沒有人會喜歡。因此，C,C++ 沒有提供在代碼直接寫二進制數的方法。

用16進制或8進制可以解決這個問題。因為，進制越大，數的表達長度也就越短。不過，為什么偏偏是16或8進制，而不其它的，諸如9或20進制呢？

2、8、16，分別是2的1次方，3次方，4次方。這一點使得三種進制之間可以非常直接地互相轉換。8進制或16進制縮短了二進制數，但保持了二進制數的表達特點。在下面的關于進制轉換的課程中，你可以發現這一點。

6.2 二、八、十六進制數轉換到十進制數

6.2.1 二進制數轉換為十進制數

二進制數第0位的權值是2的0次方，第1位的權值是2的1次方……

所以，設有一個二進制數：0110 0100，轉換為10進制為：

下面是豎式：

0110 0100 換算成 十進制

第0位 0 * 2⁰? =? 0

第1位 0 * 2¹? =? 0

第2位 1 * 2²? =? 4

第3位 0 * 2³? =? 0

第4位 0 * 2⁴? =? 0

第5位 1 * 2⁵? = 32

第6位 1 * 2⁶? = 64

第7位 0 * 2⁷? =? 0???? ＋

---------------------------

????????????? 100??

用橫式計算為：

0 * 2⁰ + 0 * 2¹ + 1 * 2² + 1 * 2³ + 0 * 2⁴ + 1 * 2⁵ + 1 * 2⁶ + 0 * 2⁷ = 100

0乘以多少都是0，所以我們也可以直接跳過值為0的位：

1 * 2² + 1 * 2³ +? 1 * 2⁵ + 1 * 2⁶ = 100

6.2.2 八進制數轉換為十進制數

八進制就是逢8進1。

八進制數采用 0～7這八數來表達一個數。

八進制數第0位的權值為8的0次方，第1位權值為8的1次方，第2位權值為8的2次方……

所以，設有一個八進制數：1507，轉換為十進制為：

用豎式表示：

1507換算成十進制。

第0位 7 * 8⁰ = 7

第1位 0 * 8¹ = 0

第2位 5 * 8² = 320

第3位 1 * 8³ = 512?? ＋

--------------------------

????????????? 839

同樣，我們也可以用橫式直接計算：

7 * 8⁰ + 0 * 8¹ + 5 * 8² + 1 * 8^{3 =} 839

結果是，八進制數 1507 轉換成十進制數為 839

6.2.3 八進制數的表達方法

C,C++語言中，如何表達一個八進制數呢？如果這個數是 876,我們可以斷定它不是八進制數，因為八進制數中不可能出7以上的阿拉伯數字。但如果這個數是123、是567，或12345670，那么它是八進制數還是10進制數，都有可能。

所以,C,C++規定，一個數如果要指明它采用八進制，必須在它前面加上一個0，如：123是十進制，但0123則表示采用八進制。這就是八進制數在C、C++中的表達方法。

由于C和C++都沒有提供二進制數的表達方法，所以，這里所學的八進制是我們學習的，CtC++語言的數值表達的第二種進制法。

現在，對于同樣一個數，比如是100，我們在代碼中可以用平常的10進制表達，例如在變量初始化時：

int a = 100;

我們也可以這樣寫：

int a = 0144; //0144是八進制的100；一個10進制數如何轉成8進制，我們后面會學到。

千萬記住，用八進制表達時，你不能少了最前的那個0。否則計算機會通通當成10進制。不過，有一個地方使用八進制數時，卻不能使用加0，那就是我們前面學的用于表達字符的“轉義符”表達法。

6.2.4 八進制數在轉義符中的使用

我們學過用一個轉義符'\'加上一個特殊字母來表示某個字符的方法，如：'\n'表示換行(line)，而'\t'表示Tab字符，'\''則表示單引號。今天我們又學習了一種使用轉義符的方法：轉義符'\'后面接一個八進制數，用于表示ASCII碼等于該值的字符。

比如，查一下

事實上我們很少在實際編程中非要用轉義符加八進制數來表示一個字符，所以，6.2.4小節的內容，大家僅僅了解就行。

6.2.5 十六進制數轉換成十進制數

2進制，用兩個阿拉伯數字：0、1；

8進制，用八個阿拉伯數字：0、1、2、3、4、5、6、7；

10進制，用十個阿拉伯數字：0到9；

16進制，用十六個阿拉伯數字……等等，阿拉伯人或說是印度人，只發明了10個數字啊？

16進制就是逢16進1，但我們只有0~9這十個數字，所以我們用A，B，C，D，E，F這五個字母來分別表示10，11，12，13，14，15。字母不區分大小寫。

十六進制數的第0位的權值為16的0次方，第1位的權值為16的1次方，第2位的權值為16的2次方……

所以，在第N（N從0開始）位上，如果是是數 X （X 大于等于0，并且X小于等于 15，即：F）表示的大小為 X * 16的N次方。

假設有一個十六進數 2AF5, 那么如何換算成10進制呢？

用豎式計算：

2AF5換算成10進制:

第0位：? 5 * 16⁰ = 5

第1位：? F * 16¹ = 240

第2位：? A * 16² = 2560

第3位：? 2 * 16³ = 8192? ＋

-------------------------------------

???????????????? 10997?

直接計算就是：

5 * 16⁰? + F * 16¹ + A * 16² +2 * 16³ = 10997

(別忘了，在上面的計算中，A表示10，而F表示15)

現在可以看出，所有進制換算成10進制，關鍵在于各自的權值不同。

假設有人問你，十進數 1234 為什么是 一千二百三十四？你盡可以給他這么一個算式：

1234 = 1 * 10³ + 2 * 10² + 3 * 10¹ + 4 * 10⁰

6.2.6? 十六進制數的表達方法

如果不使用特殊的書寫形式，16進制數也會和10進制相混。隨便一個數：9876，就看不出它是16進制或10進制。

C，C++規定，16進制數必須以 0x開頭。比如 0x1表示一個16進制數。而1則表示一個十進制。另外如：0xff,0xFF,0X102A,等等。其中的x也也不區分大小寫。(注意：0x中的0是數字0，而不是字母O)

以下是一些用法示例：

int a = 0x100F;

int b = 0x70 + a;

至此，我們學完了所有進制：10進制，8進制，16進制數的表達方式。最后一點很重要，C/C++中，10進制數有正負之分，比如12表示正12，而-12表示負12，；但8進制和16進制只能用達無符號的正整數，如果你在代碼中里：-078，或者寫：-0xF2,C,C++并不把它當成一個負數。

6.2.7 十六進制數在轉義符中的使用

轉義符也可以接一個16進制數來表示一個字符。如在6.2.4小節中說的 '?' 字符，可以有以下表達方式：

'?'???? //直接輸入字符

'\77'?? //用八進制，此時可以省略開頭的0

'\0x3F' //用十六進制

同樣，這一小節只用于了解。除了空字符用八進制數 '\0' 表示以外，我們很少用后兩種方法表示一個字符。

6.3 十進制數轉換到二、八、十六進制數

6.3.1 10進制數轉換為2進制數

給你一個十進制，比如：6，如果將它轉換成二進制數呢？

10進制數轉換成二進制數，這是一個連續除2的過程：

把要轉換的數，除以2，得到商和余數，

將商繼續除以2，直到商為0。最后將所有余數倒序排列，得到數就是轉換結果。

聽起來有些糊涂？我們結合例子來說明。比如要轉換6為二進制數。

“把要轉換的數，除以2，得到商和余數”。

?那么：

?要轉換的數是6， 6 ÷ 2，得到商是3，余數是0。 （不要告訴我你不會計算6÷3！）

?

“將商繼續除以2,直到商為0……”

現在商是3，還不是0，所以繼續除以2。

那就： 3 ÷ 2, 得到商是1,余數是1。

“將商繼續除以2，直到商為0……”

現在商是1，還不是0，所以繼續除以2。

那就： 1 ÷ 2, 得到商是0，余數是1 （拿筆紙算一下，1÷2是不是商0余1!）

“將商繼續除以2，直到商為0……最后將所有余數倒序排列”

好極！現在商已經是0。

我們三次計算依次得到余數分別是：0、1、1，將所有余數倒序排列，那就是：110了！

6轉換成二進制，結果是110。

把上面的一段改成用表格來表示，則為：

（在計算機中，÷用 / 來表示）

如果是在考試時，我們要畫這樣表還是有點費時間，所更常見的換算過程是使用下圖的連除：

（圖：1）

請大家對照圖，表，及文字說明，并且自已拿筆計算一遍如何將6轉換為二進制數。

說了半天，我們的轉換結果對嗎？二進制數110是6嗎？你已經學會如何將二進制數轉換成10進制數了，所以請現在就計算一下110換成10進制是否就是6。

6.3.2 10進制數轉換為8、16進制數

非常開心，10進制數轉換成8進制的方法，和轉換為2進制的方法類似，惟一變化：除數由2變成8。

來看一個例子，如何將十進制數120轉換成八進制數。

用表格表示：

120轉換為8進制，結果為：170。

非常非常開心，10進制數轉換成16進制的方法，和轉換為2進制的方法類似，惟一變化：除數由2變成16。

同樣是120，轉換成16進制則為：

120轉換為16進制，結果為：78。

請拿筆紙，采用（圖：1）的形式，演算上面兩個表的過程。

6.4 二、十六進制數互相轉換

二進制和十六進制的互相轉換比較重要。不過這二者的轉換卻不用計算，每個C，C++程序員都能做到看見二進制數，直接就能轉換為十六進制數，反之亦然。

我們也一樣，只要學完這一小節，就能做到。

首先我們來看一個二進制數：1111，它是多少呢？

你可能還要這樣計算：1 * 2⁰ + 1 * 2¹ + 1 * 2² + 1 * 2³ = 1 * 1 + 1 * 2 + 1 * 4 + 1 * 8 = 15。

然而，由于1111才4位，所以我們必須直接記住它每一位的權值，并且是從高位往低位記，：8、4、2、1。即，最高位的權值為2³ ＝ 8，然后依次是 2² ＝ 4，²¹＝2， 2⁰ ＝ 1。

記住8421，對于任意一個4位的二進制數，我們都可以很快算出它對應的10進制值。

下面列出四位二進制數 xxxx 所有可能的值（中間略過部分）

僅4位的2進制數? 快速計算方法?? 十進制值???? 十六進值

1111??????? = 8 + 4 + 2 + 1? = 15????????? F

1110??????? = 8 + 4 + 2 + 0? = 14????????? E

1101??????? = 8 + 4 + 0 + 1? = 13????????? D??????????

1100??????? = 8 + 4 + 0 + 0? = 12????????? C??????????

1011??????? = 8 + 4 + 0 + 1? = 11????????? B??????????

1010??????? = 8 + 0 + 2 + 0? = 10????????? A

1001??????? = 8 + 0 + 0 + 1? = 10????????? 9

....

0001??????? = 0 + 0 + 0 + 1? = 1?????????? 1

0000??????? = 0 + 0 + 0 + 0? = 0?????????? 0

二進制數要轉換為十六進制，就是以4位一段，分別轉換為十六進制。

如(上行為二制數，下面為對應的十六進制)：

1111 1101 ， 1010 0101 ， 1001 1011

?F??? D?? ，? A??? 5?? ，? 9??? B??

反過來，當我們看到 FD時，如何迅速將它轉換為二進制數呢？

先轉換F：

看到F，我們需知道它是15（可能你還不熟悉A～F這五個數），然后15如何用8421湊呢？應該是8 + 4 + 2 + 1，所以四位全為1 ：1111。

接著轉換 D：

看到D，知道它是13，13如何用8421湊呢？應該是：8 + 2 + 1,即：1011。

所以,FD轉換為二進制數，為： 1111 1011

由于十六進制轉換成二進制相當直接，所以，我們需要將一個十進制數轉換成2進制數時，也可以先轉換成16進制，然后再轉換成2進制。

比如，十進制數 1234轉換成二制數，如果要一直除以2，直接得到2進制數，需要計算較多次數。所以我們可以先除以16，得到16進制數:

結果16進制為： 0x4D2

然后我們可直接寫出0x4D2的二進制形式： 0100 1011 0010。

其中對映關系為：

0100 -- 4

1011 -- D

0010 -- 2

同樣，如果一個二進制數很長，我們需要將它轉換成10進制數時，除了前面學過的方法是，我們還可以先將這個二進制轉換成16進制，然后再轉換為10進制。

下面舉例一個int類型的二進制數：

01101101 11100101 10101111 00011011

我們按四位一組轉換為16進制： 6D E5 AF 1B???

?

6.5 原碼、反碼、補碼

結束了各種進制的轉換，我們來談談另一個話題：原碼、反碼、補碼。

我們已經知道計算機中，所有數據最終都是使用二進制數表達。

我們也已經學會如何將一個10進制數如何轉換為二進制數。

不過，我們仍然沒有學習一個負數如何用二進制表達。

比如，假設有一 int 類型的數，值為5，那么，我們知道它在計算機中表示為：

00000000 00000000 00000000 00000101

5轉換成二制是101，不過int類型的數占用4字節（32位），所以前面填了一堆0。

現在想知道，-5在計算機中如何表示？

在計算機中，負數以其正值的補碼形式表達。

什么叫補碼呢？這得從原碼，反碼說起。

原碼：一個整數，按照絕對值大小轉換成的二進制數，稱為原碼。

比如 00000000 00000000 00000000 00000101 是 5的 原碼。

反碼：將二進制數按位取反，所得的新二進制數稱為原二進制數的反碼。

取反操作指：原為1，得0；原為0，得1。（1變0; 0變1）

比如：將00000000 00000000 00000000 00000101每一位取反，得11111111 11111111 11111111 11111010。

稱：11111111 11111111 11111111 11111010 是 00000000 00000000 00000000 00000101 的反碼。

反碼是相互的，所以也可稱：

11111111 11111111 11111111 11111010 和 00000000 00000000 00000000 00000101 互為反碼。

補碼：反碼加1稱為補碼。

也就是說，要得到一個數的補碼，先得到反碼，然后將反碼加上1，所得數稱為補碼。

比如：00000000 00000000 00000000 00000101 的反碼是：11111111 11111111 11111111 11111010。

那么，補碼為：

11111111 11111111 11111111 11111010 + 1 = 11111111 11111111 11111111 11111011

所以，-5 在計算機中表達為：11111111 11111111 11111111 11111011。轉換為十六進制：0xFFFFFFFB。

再舉一例，我們來看整數-1在計算機中如何表示。

假設這也是一個int類型，那么：

1、先取1的原碼：00000000 00000000 00000000 00000001

2、得反碼：???? 11111111 11111111 11111111 11111110

3、得補碼：???? 11111111 11111111 11111111 11111111

可見，－1在計算機里用二進制表達就是全1。16進制為：0xFFFFFF。

一切都是紙上說的……說－1在計算機里表達為0xFFFFFF，我能不能親眼看一看呢？當然可以。利用C++ Builder的調試功能，我們可以看到每個變量的16進制值。

6.6 通過調試查看變量的值

下面我們來動手完成一個小小的實驗，通過調試，觀察變量的值。

我們在代碼中聲明兩個int 變量，并分別初始化為５和-５。然后我們通過ＣＢ提供的調試手段，可以查看到程序運行時，這兩個變量的十進制值和十六進制值。

首先新建一個控制臺工程。加入以下黑體部分（就一行）：

//---------------------------------------------------------------------------

#pragma hdrstop

//---------------------------------------------------------------------------

#pragma argsused

int main(int argc, char* argv[])

{

int aaaa = 5, bbbbb = -5;

return 0;

}

//---------------------------------------------------------------------------

沒有我們熟悉的的那一行：

getchar();

所以，如果全速運行這個程序，將只是ＤＯＳ窗口一閃而過。不過今天我們將通過設置斷點，來使用程序在我們需要的地兒停下來。

設置斷點：最常用的調試方法之一，使用程序在運行時，暫停在某一代碼位置，

在ＣＢ里，設置斷點的方法是在某一行代碼上按Ｆ５或在行首欄內單擊鼠標。

如下圖：

在上圖中，我們在return 0;這一行上設置斷點。斷點所在行將被ＣＢ以紅色顯示。

接著,運行程序(F9),程序將在斷點處停下來。

(請注意兩張圖的不同，前面的圖是運行之前，后面這張是運行中，左邊的箭頭表示運行運行到哪一行)

當程序停在斷點的時，我們可以觀察當前代碼片段內，可見的變量。觀察變量的方法很多種，這里我們學習使用Debug Inspector (調試期檢視)，來全面觀察一個變量。

以下是調出觀察某一變量的　Debug Inspector　窗口的方法：

先確保代碼窗口是活動窗口。(用鼠標點一下代碼窗口)

按下Ctrl鍵，然后將鼠標挪到變量 aaaa 上面，你會發現代碼中的aaaa變藍，并且出現下劃線，效果如網頁中的超鏈接，而鼠標也變成了小手狀：

點擊鼠標，將出現變量aaaa的檢視窗口：

(筆者使用的操作系統為WindowsXP,窗口的外觀與Win9X有所不同)

從該窗口，我可以看到：

aaaa :變量名

int? :變量的數據類型

0012FF88:變量的內存地址，請參看5.2 變量與內存地址；地址總是使用十六進制表達

5 ： 這是變量的值，即aaaa = 5;

0x00000005 :同樣是變量的值，但采用16進制表示。因為是int類型，所以占用4字節。

首先先關閉前面的用于觀察變量aaaa的Debug Inspector窗口。

現在，我們用同樣的方法來觀察變量bbbb,它的值為-5,負數在計算機中使用補碼表示。

正如我們所想，-5的補碼為：0xFFFFFFFB。

再按一次F9，程序將從斷點繼續運行，然后結束。

6.7 本章小結

很難學的一章？

來看看我們主要學了什么：

1)我們學會了如何將二、八、十六進制數轉換為十進制數。

三種轉換方法是一樣的，都是使用乘法。

2)我們學會了如何將十進制數轉換為二、八、十六進制數。

方法也都一樣，采用除法。

3)我們學會了如何快速的地互換二進制數和十六進制數。

要訣就在于對二進制數按四位一組地轉換成十六進制數。

在學習十六進制數后，我們會在很多地方采用十六進制數來替代二進制數。

4)我們學習了原碼、反碼、補碼。

把原碼的0變1，1變0，就得到反碼。要得到補碼，則先得反碼，然后加1。

以前我們只知道正整數在計算機里是如何表達，現在我們還知道負數在計算機里使用其絕對值的補碼表達。

比如，－5在計算機中如何表達？回答是：5的補碼。

5)最后我們在上機實驗中，這會了如何設置斷點，如何調出Debug Inspector窗口觀察變量。

以后我們會學到更多的調試方法。