Stein算法

歐幾里德算法是計算兩個數最大公約數的傳統算法，他無論從理論還是從效率上都是很好的。但是他有一個致命的缺陷，這個缺陷只有在大素數時才會顯現出來。

考慮現在的硬件平臺，一般整數最多也就是64位，對于這樣的整數，計算兩個數之間的模是很簡單的。對于字長為32位的平臺，計算兩個不超過32位的整數的模，只需要一個指令周期，而計算64位以下的整數模，也不過幾個周期而已。但是對于更大的素數，這樣的計算過程就不得不由用戶來設計，為了計算兩個超過64位的整數的模，用戶也許不得不采用類似于多位數除法手算過程中的試商法，這個過程不但復雜，而且消耗了很多CPU時間。對于現代密碼算法，要求計算128位以上的素數的情況比比皆是，設計這樣的程序迫切希望能夠拋棄除法和取模。

Stein算法由J. Stein 1961年提出，這個方法也是計算兩個數的最大公約數。和歐幾里德算法 算法不同的是，Stein算法只有整數的移位和加減法，這對于程序設計者是一個福音。

為了說明Stein算法的正確性，首先必須注意到以下結論：

• gcd(a,a) = a，也就是一個數和他自身的公約數是其自身
• gcd(ka,kb) = k gcd(a,b)，也就是最大公約數運算和倍乘運算可以交換，特殊的，當k=2時，說明兩個偶數的最大公約數必然能被2整除

有了上述規律就可以給出Stein算法如下：

1. 如果A=0，B是最大公約數，算法結束
2. 如果B=0，A是最大公約數，算法結束
3. 設置A₁ = A、B₁=B和C₁ = 1
4. 如果A_n和B_n都是偶數，則A_n+1 =A_n /2，B_n+1 =B_n /2，C_n+1 =C_n *2(注意，乘2只要把整數左移一位即可，除2只要把整數右移一位即可)
5. 如果A_n是偶數，B_n不是偶數，則A_n+1 =A_n /2，B_n+1 =B_n ，C_n+1 =C_n (很顯然啦，2不是奇數的約數)
6. 如果B_n是偶數，A_n不是偶數，則B_n+1 =B_n /2，A_n+1 =A_n ，C_n+1 =C_n (很顯然啦，2不是奇數的約數)
7. 如果A_n和B_n都不是偶數，則A_n+1 =|A_n -B_n|，B_n+1 =min(A_n,B_n)，C_n+1 =C_n
8. n++，轉4

這個算法的原理很顯然，所以就不再證明了?，F在考察一下該算法和歐幾里德方法效率上的差別。

考慮歐幾里德算法，最惡劣的情況是，每次迭代a = 2b -1,這樣，迭代后，r= b-1。如果a小于2^N，這樣大約需要 4N次迭代。而考慮Stein算法，每次迭代后，顯然A_N+1B_N+1≤ A_NB_N/2，最大迭代次數也不超過4N次。也就是說，迭代次數幾乎是相等的。但是，需要注意的是，對于大素數，試商法將使每次迭代都更復雜，因此對于大素數Stein將更有優勢。