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S(n)拆成數字排成的直角三角形：
1
2 2
3 3 3
4 4 4 4
……
n n …… n
這個三角形第一行數字的和為12，第二行數字和為22，……第n行數字和為n2，因此S(n)可以看作這個三角形里所有數字的和
注意上面那個直角三角三角形空缺的部分，將它補全成一個正方形的話，是這樣的：
1 1 1 …… 1
2 2 2 …… 2
3 3 3 …… 3
4 4 4 …… 4
……
n n n …… n
這個正方形所有的數字和為n*(1+n)*n/2=n3/2+n2/2
而我們補上的數字是哪些呢？
1 1 1 …… 1 ? ? ? ? (n-1)個的1
?2 2 …… 2 ? ? ? ? (n-2)個的2
? ?3 …… 3 ? ? ? ? (n-3)個的3
………
? ? ? ? ?n-1
又一個直角三角形，我們只需算出這個三角形的數字和T(n)，再用剛才算的正方形數字和減去它，便能得到要求的S(n)，即S(n)=n3/2+n2/2-T(n)。而這個三角形的每一列數字和很好算，第一列是1，第二列是1+2，第三列是1+2+3，……，最后一列（第n-1列）是1+2+3+……+n-1，根據等差數列前n項和公式，這個三角形第n列的數字和是(1+n)*n/2=n2/2+n/2，所以T(n)相當于(12/2+1/2)+(22/2+2/2)+(32/2+3/2)……+[(n-1)2/2+(n-1)/2]
將各個擴號內的第一項和第二項分別相加，得
T(n)=[12+22+32+……+(n-1)2]/2+(1+2+3+……+n-1)/2
=S(n-1)/2+(n-1)*n/4
=S(n-1)/2+n2/4-n/4
也就是說，S(n)=n3/2+n2/2-T(n)
=n3/2+n2/2-S(n-1)-n2/4+n/4
=n3/2+n2/4+n/4-S(n-1)/2 ? ……①
因為S(n)=12+22+32+……+n2，S(n-1)=12+22+32+……+(n-1)2
可以看出，S(n)=S(n-1)+n2，即S(n-1)=S(n)-n2，代入①式，得到
S(n)=n3/2+n2/4+n/4-S(n)/2+n2/2
3S(n)/2=n3/2+3n2/4+n/4
3S(n)=n3+3n2/2+n/2
S(n)=n3/3+3n2/6+n/6
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