【題說】
1996
年北京市賽高一復(fù)試題
5
．
【證】（
1
）不妨設(shè)
a
、
b
、
c
中
a
為最大．
因為
2
（
a
2
b
2
+b
2
c
2
+c
2
a
2
）
-
（
a
4
+b
4
+c
4
）
=
（
2ab
）
2
-
（
a
2
+b
2
-c
2
）
2
≥
0
所以
2ab
≥
a
2
+b
2
-c
2
a
2
+b
2
+c
2
=
（
a
2
+b
2
-c
2
）
+2c
2
≤
2ab+2c
2
≤
2
（
ab+bc+ca
）
（
2
）（
*
）的逆命題：設(shè)
a
、
b
、
c
是非負(fù)實數(shù)．如果
a
2
+b
2
+c
2
≤
2
（
ab+bc+ca
），
則
a
4
+b
4
+c
4
≤
2
（
a
2
b
2
+b
2
c
2
+c
2
a
2
）
這逆命題不真，例如
a=4
，
b=c=1
時
a
2
+b
2
+c
2
=2
（
ab+bc+ca
）
=18
而
a
4
+b
4
+c
4
=258
＞
2
（
a
2
b
2
+b
2
c
2
+c
2
a
2
）
=66
【評注】
a
4
+b
4
+c
4
＜
2
（
a
2
b
2
+b
2
c
2
+c
2
a
2
）是
a
、
b
、
c
構(gòu)成三角形的充分必要條件
，而且在構(gòu)成三角形時，設(shè)三角形面積為Δ，則
16
Δ
2
=2
（
a
2
b
2
+b
2
c
2
+c
2
a
2
）
-a
4
-b
4
-c
4
＞
0
這是我在找資料的時候偶爾看到的，覺得也許以后有用得到的時候，所以就摘錄了下來。
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posted on 2007-03-29 13:32
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