ï»??xml version="1.0" encoding="utf-8" standalone="yes"?><rss version="2.0" xmlns:dc="http://purl.org/dc/elements/1.1/" xmlns:trackback="http://madskills.com/public/xml/rss/module/trackback/" xmlns:wfw="http://wellformedweb.org/CommentAPI/" xmlns:slash="http://purl.org/rss/1.0/modules/slash/"><channel><title>&#x56FD;&#x4EA7;&#x61;&#x4E00;&#x533A;&#x4E8C;&#x533A;&#x2C;&#x56FD;&#x4EA7;&#x7CBE;&#x54C1;&#x39;&#x31;&#x4E45;&#x4E45;&#x2C;&#x6210;&#x4EBA;&#x5728;&#x7EBF;&#x89C2;&#x770B;&#x89C6;&#x9891;&#x7F51;&#x7AD9;</title><link>http://www.aygfsteel.com/zhuyuanxiang/category/43245.html</link><description>模å¼�识别与机器学习的学习园地åQ?/description><language>zh-cn</language><lastBuildDate>Wed, 23 Dec 2009 05:50:44 GMT</lastBuildDate><pubDate>Wed, 23 Dec 2009 05:50:44 GMT</pubDate><ttl>60</ttl><item><title>在数学的‹¹äh´‹ä¸­é£˜è�?转自Dahuaçš„Blog)</title><link>http://www.aygfsteel.com/zhuyuanxiang/articles/Mathematics.html</link><dc:creator>æœÞp¿œ¾˜?/dc:creator><author>æœÞp¿œ¾˜?/author><pubDate>Wed, 23 Dec 2009 05:24:00 GMT</pubDate><guid>http://www.aygfsteel.com/zhuyuanxiang/articles/Mathematics.html</guid><wfw:comment>http://www.aygfsteel.com/zhuyuanxiang/comments/307017.html</wfw:comment><comments>http://www.aygfsteel.com/zhuyuanxiang/articles/Mathematics.html#Feedback</comments><slash:comments>0</slash:comments><wfw:commentRss>http://www.aygfsteel.com/zhuyuanxiang/comments/commentRss/307017.html</wfw:commentRss><trackback:ping>http://www.aygfsteel.com/zhuyuanxiang/services/trackbacks/307017.html</trackback:ping><description><![CDATA[在过åŽÈ�š„一òq´ä¸­åQŒæˆ‘一直在数学的æ“v‹z‹ä¸­æ¸¸è�¡åQŒresearch˜q›å±•ä¸�多åQŒå¯¹äºŽæ•°å­¦ä¸–界的阅历½Ž—是有了一些长˜q›ã€?

ä¸ÞZ»€ä¹ˆè¦�深入数学的世ç•?
作äؓ计算机的学生åQŒæˆ‘没有ä»ÖM½•ä¼�图è¦�æˆ�ä¸ÞZ¸€ä¸ªæ•°å­¦å®¶ã€‚我学习数学的目的，是è¦�想爬上巨人的肩膀åQŒå¸Œæœ›ç«™åœ¨æ›´é«˜çš„高度åQŒèƒ½æŠŠæˆ‘自己研究的东西看得更深广一些。说èµäh�¥åQŒæˆ‘在刚æ�¥è¿™ä¸ªå­¦æ ¡çš„时候，òq¶æ²¡æœ‰é¢„料到我将会有一个深入数学的旅程。我的导师最åˆ�希望我åŽÕd�šçš„题目，是对appearanceå’Œmotion建立一个unifiedçš„model。这个题目在当今Computer Vision中百花é½�攄¡š„世界中åƈ没有ä»ÖM½•ç‰¹åˆ«çš„地æ–�V€‚事实上åQŒä‹É用å�„¿U�Graphical Model把å�„¿U�东西è�”å�ˆåœ¨ä¸€èµ·frameworkåQŒåœ¨˜q‘年的论文中òq¶ä¸�ž®‘è§�ã€?

我ä¸�å�¦è®¤çŽ°åœ¨òq¿æ³›‹¹�行的Graphical Model是对å¤�æ�‚现象建模的有力工å…øP¼Œä½†æ˜¯åQŒæˆ‘认äؓ它ä¸�是panaceaåQŒåƈä¸�能å�–代对于所研究的问题的深入的钻研。如果统计学习包æ²È�™¾ç—…，那么很多“下游â€�的学科也就没有存在的必è¦�了。事实上åQŒå¼€å§‹çš„时候，我也是和Vision中很多ä�h一æ øP¼Œæƒ³ç�€åŽÕd�šä¸€ä¸ªGraphical Model——我的导师指出，˜q™æ ·çš„å�šæ³•å�ªæ˜¯é‡�å¤�一些标准的‹¹�程åQŒåƈ没有很大的ä­h倹{€‚ç»�˜q‡å¾ˆé•¿æ—¶é—´çš„å��å¤�åQŒå�¦å¤–一个èµ\径慢慢被¼‹®ç«‹ä¸‹æ�¥â€”—我们相信，一个图åƒ�是通过大é‡�“原å­�â€�çš„æŸ�ç§�½Iºé—´åˆ†å¸ƒæž„æˆ�的，原å­�¾Ÿ¤çš„˜q�动形æˆ�了动æ€�çš„å�¯è§†˜q‡ç¨‹ã€‚微观æ„�义下的å�•ä¸ªåŽŸå­�è¿�动，和å®�观æ„�义下的整体分布的å�˜æ�¢å­˜åœ¨ç�€æ·±åˆ»çš„è�”¾p Z€”—这需è¦�我们去å�‘掘ã€?

在深入探索这个题目的˜q‡ç¨‹ä¸­ï¼Œé�‡åˆ°äº†å¾ˆå¤šå¾ˆå¤šçš„问题åQŒå¦‚何æ��˜qîC¸€ä¸ªä¸€èˆ¬çš„˜q�动˜q‡ç¨‹åQŒå¦‚何å¾�立一个稳定åƈ且广泛适用的原å­�表达，如何åˆÈ�”»å¾®è§‚˜q�动和å®�观分布å�˜æ�¢çš„è�”ç³»åQŒè¿˜æœ‰å¾ˆå¤šã€‚在˜q™ä¸ª˜q‡ç¨‹ä¸­ï¼Œæˆ‘å�‘çŽîCº†ä¸¤ä¸ªäº‹æƒ…åQ?

我原有的数学基础已ç»�˜qœè¿œä¸�能适应我对˜q™äº›é—®é¢˜çš„深入研½I¶ã€?
在数学中åQŒæœ‰å¾ˆå¤šæ€�想和工å…øP¼Œæ˜¯é�žå¸”R€‚å�ˆè§£å†³˜q™äº›é—®é¢˜çš„，å�ªæ˜¯æ²¡æœ‰è¢«å¾ˆå¤šçš„应用¿U‘学的研½I¶è€…é‡�视ã€?
于是åQŒæˆ‘军_¿ƒå¼€å§‹æ·±å…¥æ•°å­¦è¿™ä¸ªæµ©ç€šå¤§‹¹øP¼Œå¸Œæœ›åœ¨æˆ‘å†�次走出æ�¥çš„时候，我已¾l�有了更强大的武器去é�¢å¯¹˜q™äº›é—®é¢˜çš„挑战ã€?

我的游历òq¶æ²¡æœ‰ç»“æ�Ÿï¼Œæˆ‘的视野相比于这个å�šå¤§ç²¾æ·Þqš„世界的ä¾�旧显得é�žå¸¸ç‹­½H„。在˜q™é‡ŒåQŒæˆ‘å�ªæ˜¯è¯´è¯´åQŒåœ¨æˆ‘çš„çœég¸­åQŒæ•°å­¦å¦‚何一步步从åˆ�¾U§å�‘高çñ”å�‘展åQŒæ›´é«˜çñ”别的数学对于具体应用½I¶ç«Ÿæœ‰ä½•å¥½å¤„ã€?

  

集å�ˆè®ºï¼šçŽîC»£æ•°å­¦çš„å…±å�ŒåŸº¼‹€
çŽîC»£æ•°å­¦æœ‰æ•°ä¸�清的分支，但是åQŒå®ƒä»¬éƒ½æœ‰ä¸€ä¸ªå…±å�Œçš„基础——集å�ˆè®ºâ€”—因为它åQŒæ•°å­¦è¿™ä¸ªåºžå¤§çš„家æ—�有个共å�Œçš„语­a€ã€‚集å�ˆè®ºä¸­æœ‰ä¸€äº›æœ€åŸºæœ¬çš„概念：集å�ˆ(set)åQŒå…³¾p?relation)åQŒå‡½æ•?function)åQŒç­‰ä»?equivalence)åQŒæ˜¯åœ¨å…¶å®ƒæ•°å­¦åˆ†æ”¯çš„语言中几乎必然存在的。对于这些简å�•æ¦‚å¿ëŠš„ç�†è§£åQŒæ˜¯˜q›ä¸€æ­¥å­¦äº›åˆ«çš„数学的基础。我ç›æ€¿¡åQŒç�†å·¥ç§‘大学生对于这些都ä¸�会陌生ã€?

ä¸�过åQŒæœ‰ä¸€ä¸ªå¾ˆé‡�è¦�的东西就ä¸�è§�得那么家å–ÀLˆ·æ™“了——那ž®±æ˜¯â€œé€‰æ‹©å…¬ç�†â€?Axiom of Choice)。这个公ç�†çš„æ„�æ€�是“ä“Qæ„�的一¾Ÿ¤é�ž½Iºé›†å�ˆï¼Œä¸€å®šå�¯ä»¥ä»Žæ¯�个集å�ˆä¸­å�„拿出一个元素。â€�——似乎是昄¡„¶å¾—ä¸�能å†�昄¡„¶çš„命题。ä¸�˜q‡ï¼Œ˜q™ä¸ªè²Œä¼¼òq›_¸¸çš„å…¬ç�†å�´èƒ½æ¼”¾lŽå‡ºä¸€äº›æ¯”较奇怪的¾l“论åQŒæ¯”如巴拿赫-塔斯基分ç�ƒå®šç�†â€”—“一个ç�ƒåQŒèƒ½åˆ†æˆ�五个部分åQŒå¯¹å®ƒä»¬˜q›è¡Œä¸€¾pÕdˆ—刚性å�˜æ�¢ï¼ˆòq³ç§»æ—‹è�{åQ‰å�ŽåQŒèƒ½¾l„å�ˆæˆ�两个一样大ž®�çš„ç�ƒâ€�。正因äØ“˜q™äº›å®Œå…¨æœ‰æ‚–常识的结论，å¯ÆD‡´æ•°å­¦ç•Œæ›¾¾l�在相当长时间里对于是å�¦æŽ¥å�—它有ç�€‹È€çƒˆäº‰è®ºã€‚现在，ä¸ÀLµ�数学家对于它应该是基本接å�—çš„åQŒå› ä¸ºå¾ˆå¤šæ•°å­¦åˆ†æ”¯çš„é‡�è¦�定ç�†éƒ½ä¾�赖于它。在我们å�Žé�¢è¦�回说到的学¿U‘里é�¢ï¼Œä¸‹é�¢çš„定ç�†ä¾�赖于选择公ç�†åQ?

拓扑学：Baire Category Theorem 
实分æž�（‹¹‹åº¦ç�†è®ºåQ‰ï¼šLebesgue ä¸�å�¯‹¹‹é›†çš„存在æ€?
泛函分æž�四个主è¦�定ç�†åQšHahn-Banach Extension Theorem, Banach-Steinhaus Theorem (Uniform boundedness principle), Open Mapping Theorem, Closed Graph Theorem
在集å�ˆè®ºçš„基¼‹€ä¸Šï¼ŒçŽîC»£æ•°å­¦æœ‰ä¸¤å¤§å®¶æ—�：分æž�(Analysis)和代æ•?Algebra)。至于其它的åQŒæ¯”如几何和概率论，在å�¤å…¸æ•°å­¦æ—¶ä»£ï¼Œå®ƒä»¬æ˜¯å’Œä»£æ•°òq¶åˆ—的，但是它们的现代版本则基本是å¾�立在分æž�或者代数的基础上，因此从现代æ„�义说åQŒå®ƒä»¬å’Œåˆ†æž�与代数åƈä¸�是òqŒ™¡Œçš„å…³¾p…R€?

 
分æž�åQšåœ¨æž�é™�基础上å¾�ç«‹çš„å®�伟大厦
微积分：分�的�典时代——从牛顿到柯�
先说说分æž?Analysis)å�§ï¼Œå®ƒæ˜¯ä»Žå¾®¿U¯åˆ†(Caculus)å�‘展èµäh�¥çš„——这也是有些微积分教æ��å��å­—å�«â€œæ•°å­¦åˆ†æž�â€�的原因。ä¸�˜q‡ï¼Œåˆ†æž�的范畴远ä¸�å�ªæ˜¯è¿™äº›ï¼Œæˆ‘们在大学一òq´çñ”学习的微¿U¯åˆ†å�ªèƒ½½Ž—是对å�¤å…¸åˆ†æž�的入门。分æž�ç ”½I¶çš„对象很多åQŒåŒ…括导æ•?derivatives)åQŒç§¯åˆ?integral)åQŒå¾®åˆ†æ–¹½E?differential equation)åQŒè¿˜æœ‰çñ”æ•?infinite series)——这些基本的概念åQŒåœ¨åˆ�等的微¿U¯åˆ†é‡Œé�¢éƒ½æœ‰ä»‹ç»�。如果说有一个æ€�想贯穿其中åQŒé‚£ž®±æ˜¯æž�é™�——这是整个分æž�（ä¸�仅仅是微积分）的ç�µ™ì‚ã€?

一个很多ä�h都å�¬è¯´è¿‡çš„故事，ž®±æ˜¯ç‰›é¡¿(Newton)和莱布尼èŒ?Leibniz)关于微积分å�‘明æ�ƒçš„争论。事实上åQŒåœ¨ä»–们的时代，很多微积分的工具开始è¿�用在¿U‘学和工½E‹ä¹‹ä¸­ï¼Œä½†æ˜¯åQŒå¾®¿U¯åˆ†çš„基¼‹€òq¶æ²¡æœ‰çœŸæ­£å¾�立。那个长旉™—´ä¸€ç›´è§£é‡Šä¸�清楚的“无½I·å°�é‡�â€�çš„òq½ç�µåQŒå›°æ‰îCº†æ•°å­¦ç•Œä¸€ç™‘Ö¤šòq´çš„æ—‰™—´â€”—这ž®±æ˜¯â€œç¬¬äºŒæ¬¡æ•°å­¦å�±æœºâ€�。直到柯西用数列æž�é™�的观炚w‡�æ–°å¾�立了微积分的基本概念åQŒè¿™é—¨å­¦¿U‘æ‰�开始有了一个比较å�šå®žçš„基础。直åˆîC»Šå¤©ï¼Œæ•´ä¸ªåˆ†æž�的大厦还是å¾�立在æž�é™�的基石之上ã€?

柯西(Cauchy)为分æž�çš„å�‘展æ��供了一¿U�严密的语言åQŒä½†æ˜¯ä»–òq¶æ²¡æœ‰è§£å†›_¾®¿U¯åˆ†çš„全部问题。在19世纪的时候，分æž�的世界ä»�然有ç�€ä¸€äº›æŒ¥ä¹‹ä¸�åŽÈ�š„乌云。而其中最é‡�è¦�的一个没有解决的是“函数是å�¦å�¯¿U¯çš„问题â€�。我们在现在的微¿U¯åˆ†è¯¾æœ¬ä¸­å­¦åˆ°çš„é‚£ç§�通过“无é™�分割区é—ß_¼Œå�–矩阵é�¢¿U¯å’Œçš„æž�é™�â€�çš„¿U¯åˆ†åQŒæ˜¯å¤§çº¦åœ?850òq´ç”±é»Žæ›¼(Riemann)æ��出的，å�«å�šé»Žæ›¼¿U¯åˆ†ã€‚但是，什么函数存在黎曼积分呢åQˆé»Žæ›¼å�¯¿U¯ï¼‰åQŸæ•°å­¦å®¶ä»¬å¾ˆæ—©å°±è¯�明了，定义在闭区间内的˜qžç®‹å‡½æ•°æ˜¯é»Žæ›¼å�¯¿U¯çš„。å�¯æ˜¯ï¼Œ˜q™æ ·çš„结果åƈä¸�ä×o人满æ„�，工程师们需è¦�对分段˜qžç®‹å‡½æ•°çš„函数积分ã€?

实分æž�：在实数ç�†è®ºå’Œ‹¹‹åº¦ç�†è®ºä¸Šå¾�ç«‹è“vçŽîC»£åˆ†æž�
åœ?9世纪中å�ŽæœŸï¼Œä¸�è¿ž¾l­å‡½æ•°çš„å�¯ç§¯æ€§é—®é¢˜ä¸€ç›´æ˜¯åˆ†æž�çš„é‡�è¦�课题。对于定义在闭区间上的黎曼积分的研究å�‘现åQŒå�¯¿U¯æ€§çš„关键在于“ä¸�˜qžç®‹çš„点­‘›_¤Ÿž®‘â€�。å�ªæœ‰æœ‰é™�处ä¸�è¿ž¾l­çš„函数是å�¯¿U¯çš„åQŒå�¯æ˜¯å¾ˆå¤šæœ‰æ•°å­¦å®¶ä»¬æž„造出很多在无é™�处ä¸�è¿ž¾l­çš„å�¯ç§¯å‡½æ•°ã€‚显ç„Óž¼Œåœ¨è¡¡é‡�点集大ž®�的时候，有é™�和无é™�åƈä¸�是一¿U�å�ˆé€‚的标准。在探讨“点集大ž®�â€�这个问题的˜q‡ç¨‹ä¸­ï¼Œæ•°å­¦å®¶å�‘现实数èáu——这个他们曾¾l�以为已¾l�充分ç�†è§£çš„东西——有ç�€è®¸å¤šä»–们没有惛_ˆ°çš„特性。在æž�é™�æ€�想的支æŒ�下åQŒå®žæ•°ç�†è®ºåœ¨˜q™ä¸ªæ—¶å€™è¢«å»ºç«‹èµäh�¥åQŒå®ƒçš„标志是对实数完备性进行刻ç”È�š„几æ�¡½{‰ä­h的定ç�†ï¼ˆ¼‹®ç•Œå®šç�†åQŒåŒºé—´å¥—定ç�†åQŒæŸ¯è¥¿æ”¶æ•›å®šç�†ï¼ŒBolzano-Weierstrass Theoremå’ŒHeine-Borel Theorem½{‰ç­‰åQ‰â€”—这些定ç�†æ˜Ž¼‹®è¡¨è¾‘Ö‡ºå®žæ•°å’Œæœ‰ç�†æ•°çš„根本区别：完备性（很ä¸�严格的说åQŒå°±æ˜¯å¯¹æž�é™�˜q�ç®—ž®�é—­åQ‰ã€‚éš�ç�€å¯¹å®žæ•°è®¤è¯†çš„深入åQŒå¦‚何测é‡�“点集大ž®�â€�的问题也å�–得了½H�ç ´åQŒå‹’è´�格创造性地把关于集å�ˆçš„代数åQŒå’ŒOuter contentåQˆå°±æ˜¯â€œå¤–‹¹‹åº¦â€�的一个é›�形）的概å¿ëŠ»“å�ˆè“væ�¥ï¼Œå»ºç«‹äº†æµ‹åº¦ç�†è®?Measure Theory)åQŒåƈ且进一步å¾�立了以测度äؓ基础的积分——勒è´�æ ¼(Lebesgue Integral)。在˜q™ä¸ªæ–°çš„¿U¯åˆ†æ¦‚念的支æŒ�下åQŒå�¯¿U¯æ€§é—®é¢˜å�˜å¾—一目了然ã€?

上é�¢è¯´åˆ°çš„实数ç�†è®ºï¼Œ‹¹‹åº¦ç�†è®ºå’Œå‹’è´�æ ¼¿U¯åˆ†åQŒæž„æˆ�了我们现在¿UîCؓ实分æž?Real Analysis)的数学分支，有些书也å�«å®žå�˜å‡½æ•°è®ºã€‚对于应用科学æ�¥è¯ß_¼Œå®žåˆ†æž�似乎没有å�¤å…¸å¾®¿U¯åˆ†é‚£ä¹ˆâ€œå®žç”¨â€�——很隄¡›´æŽ¥åŸºäºŽå®ƒå¾—到什么算法。而且åQŒå®ƒè¦�解决的æŸ�些“难题â€�——比如处处ä¸�˜qžç®‹çš„函敎ͼŒæˆ–者处处连¾l­è€Œå¤„处ä¸�å�¯å¾®çš„函数——在工程师的çœég¸­åQŒåƈä¸�现实。但是，我认为，它åƈä¸�是一¿U�纯数学概念游æˆ�åQŒå®ƒçš„现实æ„�义在于äؓ许多çŽîC»£çš„应用数学分支æ��ä¾›å�šå®žçš„基础。下é�¢ï¼Œæˆ‘仅仅列丑և æ�¡å®ƒçš„用处： 

黎曼å�¯ç§¯çš„函数空间ä¸�是完备的åQŒä½†æ˜¯å‹’è´�æ ¼å�¯ç§¯çš„函数空间是完备的。简å�•çš„è¯ß_¼Œä¸€ä¸ªé»Žæ›¼å�¯¿U¯çš„函数列收敛到的那个函æ•îC¸�一定是黎曼å�¯ç§¯çš„，但是勒è´�æ ¼å�¯¿U¯çš„函数列必定收敛到一个勒è´�æ ¼å�¯ç§¯çš„函数。在泛函分æž�åQŒè¿˜æœ‰é€ÆD¿‘ç�†è®ºä¸­ï¼Œ¾l�常需è¦�讨论“函数的æž�é™�â€�，或者“函数的¾U§æ•°â€�，如果用黎曼积分的概念åQŒè¿™¿U�讨论几乎ä¸�å�¯æƒ³åƒ�。我们有时看一些paper中æ��到Lp函数½Iºé—´åQŒå°±æ˜¯åŸºäºŽå‹’è´�æ ¼¿U¯åˆ†ã€?
å‹’è´�格积分是傅立å�¶å�˜æ�¢ï¼ˆ˜q™ä¸œè¥¿åœ¨å·¥ç¨‹ä¸­åˆ°å¤„都是）的基¼‹€ã€‚很多关于信å�·å¤„ç�†çš„åˆ�等教æ��åQŒå�¯èƒ½ç»•˜q‡äº†å‹’è´�格积分，直接讲点é�¢å¯¹å®žç”¨çš„东西而ä¸�谈它的数学基¼‹€åQŒä½†æ˜¯ï¼Œå¯¹äºŽæ·±å±‚‹Æ¡çš„研究问题——特别是希望在ç�†è®ÞZ¸­èƒ½å�šä¸€äº›å·¥ä½œâ€”—这òq¶ä¸�是总能¾l•è¿‡åŽ…R€?
在下é�¢ï¼Œæˆ‘们˜q˜ä¼šçœ‹åˆ°åQŒæµ‹åº¦ç�†è®ºæ˜¯çŽîC»£æ¦‚率论的基础ã€?
拓扑学：分æž�从实数èáu推广åˆîC¸€èˆ¬ç©ºé—´â€”—现代分æž�的抽象基础
éš�ç�€å®žæ•°ç�†è®ºçš„å¾�立，大家开始把æž�é™�和连¾l­æŽ¨òq¿åˆ°æ›´ä¸€èˆ¬çš„地方的分æž�。事实上åQŒå¾ˆå¤šåŸºäºŽå®žæ•°çš„概念和定ç�†åƈä¸�是实数ç‰ÒŽœ‰çš„。很多特性å�¯ä»¥æŠ½è±¡å‡ºæ�¥ï¼ŒæŽ¨å¹¿åˆ°æ›´ä¸€èˆ¬çš„½Iºé—´é‡Œé�¢ã€‚对于实数èáu的推òq¿ï¼Œä¿ƒæˆ�了点集拓扑学(Point-set Topology)çš„å¾�立。很多原æ�¥å�ªå­˜åœ¨äºŽå®žæ•îC¸­çš„概念，被æ��å�–出æ�¥ï¼Œ˜q›è¡Œä¸€èˆ¬æ€§çš„讨论。在拓扑学里é�¢ï¼Œæœ?个Cæž„æˆ�了它的核心： 

Closed setåQˆé—­é›†å�ˆåQ‰ã€‚在çŽîC»£çš„拓扑学的公ç�†åŒ–体系中，开集和闭集是最基本的概å¿üc€‚一切从此引生뀂这两个概念是开区间和闭区间的推òq¿ï¼Œå®ƒä»¬çš„根本地ä½�，òq¶ä¸�是一开始就被认识到的。ç»�˜q‡ç›¸å½“é•¿çš„æ—¶é—ß_¼ŒäºÞZ»¬æ‰�认识到åQšå¼€é›†çš„概念是连¾l­æ€§çš„基础åQŒè€Œé—­é›†å¯¹æž�é™�˜q�ç®—ž®�闭——而æž�é™�正是分æž�的根基ã€?
Continuous function åQˆè¿ž¾l­å‡½æ•ŽÍ¼‰ã€‚è¿ž¾l­å‡½æ•°åœ¨å¾®ç§¯åˆ†é‡Œé�¢æœ‰ä¸ªç”¨epsilon-delta语言¾l™å‡ºçš„定义，在拓扑学中它的定义是“开集的原åƒ�是开集的函数â€�。第二个定义和第一个是½{‰ä­h的，å�ªæ˜¯ç”¨æ›´æŠ½è±¡çš„语­a€˜q›è¡Œäº†æ”¹å†™ã€‚我个ä�h认äØ“åQŒå®ƒçš„第三个åQˆç­‰ä»øP¼‰å®šä¹‰æ‰�从æ ÒŽœ¬ä¸Šæ�­½Cø™¿ž¾l­å‡½æ•°çš„本质——“连¾l­å‡½æ•°æ˜¯ä¿�æŒ�æž�é™�˜q�算的函数â€�——比如y是数列x1, x2, x3, â€?çš„æž�é™�， 那么如果 f 是连¾l­å‡½æ•ŽÍ¼Œé‚£ä¹ˆ f(y) ž®±æ˜¯ f(x1), f(x2), f(x3), …的æž�é™�。连¾l­å‡½æ•°çš„é‡�è¦�性，å�¯ä»¥ä»Žåˆ«çš„分支学¿U‘中˜q›è¡Œ¾cÀL¯”。比如群è®ÞZ¸­åQŒåŸº¼‹€çš„è¿�½Ž—是“乘法â€�，对于¾Ÿ¤ï¼Œæœ€é‡�è¦�的映ž®„å�«â€œå�Œæ€�映ž®„â€�——ä¿�æŒ�“乘法â€�的映射。在分æž�中，基础˜q�算是“æž�é™�â€�，因此˜qžç®‹å‡½æ•°åœ¨åˆ†æž�中的地ä½�，和å�Œæ€�映ž®„在代数中的åœîC½�是相当的ã€?
Connected set åQˆè¿žé€šé›†å�ˆï¼‰ã€‚比它略为窄一点的概念å�?Path connected)åQŒå°±æ˜¯é›†å�ˆä¸­ä»ÀL„�两点都存在连¾l­èµ\径相˜qžâ€”—å�¯èƒ½æ˜¯ä¸€èˆ¬ä�hç�†è§£çš„概å¿üc€‚一般æ„�义下的连通概å¿ëŠ¨�微抽象一些。在我看æ�¥ï¼Œ˜qžé€šæ€§æœ‰ä¸¤ä¸ªé‡�è¦�的用场：一个是用于è¯�明一般的中值定ç�?Intermediate Value Theorem)åQŒè¿˜æœ‰å°±æ˜¯ä»£æ•°æ‹“扑，拓扑¾Ÿ¤è®ºå’Œæ�Ž¾Ÿ¤è®ºä¸­è®¨è®ºæ ¹æœ¬ç¾¤(Fundamental Group)的阶ã€?
Compact setåQˆç´§é›†ï¼‰ã€‚Compactnessä¼ég¹Žåœ¨åˆ�½{‰å¾®¿U¯åˆ†é‡Œé�¢æ²¡æœ‰ä¸“门出现åQŒä¸�˜q‡æœ‰å‡ æ�¡å®žæ•°ä¸Šçš„定ç�†å’Œå®ƒå…¶å®žæ˜¯æœ‰å…³ç³»çš„。比如，“有界数列必然存在收敛å­�列â€�——用compactness的语­a€æ�¥è¯´ž®±æ˜¯â€”—“实数空间中有界闭集是紧的â€�。它在拓扑学中的一般定义是一个å�¬ä¸ŠåŽ»æ¯”较抽象的东襎쀔—“紧集的ä»ÀL„�开覆盖存在有é™�å­�覆盖â€�。这个定义在讨论拓扑学的定ç�†æ—¶å¾ˆæ–¹ä¾¿åQŒå®ƒåœ¨å¾ˆå¤šæ—¶å€™èƒ½å¸®åŠ©å®žçŽ°ä»Žæ— é™�到有é™�çš„è�{æ�¢ã€‚对于分æž�æ�¥è¯ß_¼Œç”¨å¾—更多的是它的å�¦ä¸€¿U�åÅžå¼�——“紧集中的数列必存在收敛å­�列â€�——它体现了分æž�中最é‡�è¦�的“æž�é™�â€�。Compactness在现代分æž�中˜q�用æž�广åQŒæ— æ³•å°½˜q°ã€‚å¾®¿U¯åˆ†ä¸­çš„两个é‡�è¦�定ç�†åQšæž�值定ç�?Extreme Value Theory)åQŒå’Œä¸€è‡´æ”¶æ•›å®šç�?Uniform Convergence Theorem)ž®±å�¯ä»¥å€ŸåŠ©å®ƒæŽ¨òq¿åˆ°ä¸€èˆ¬çš„å½¢å¼�ã€?
从æŸ�¿U�æ„�义上è¯ß_¼Œç‚šw›†æ‹“扑学å�¯ä»¥çœ‹æˆ�是关于“æž�é™�â€�的一般ç�†è®ºï¼Œå®ƒæŠ½è±¡äºŽå®žæ•°ç�†è®ºåQŒå®ƒçš„概忉|ˆ�为几乎所有现代分æž�å­¦¿U‘的通用语言åQŒä¹Ÿæ˜¯æ•´ä¸ªçŽ°ä»£åˆ†æž�的根基所在ã€?

微分几何åQšæµ�形上的分æž�——在拓扑½Iºé—´ä¸Šå¼•å…¥å¾®åˆ†ç»“æž?
拓扑学把æž�é™�的概忉|Ž¨òq¿åˆ°ä¸€èˆ¬çš„拓扑½Iºé—´åQŒä½†˜q™ä¸�是故事的¾l“æ�ŸåQŒè€Œä»…仅是开始。在微积分里é�¢ï¼Œæž�é™�之å�Žæˆ‘们有微分，求导åQŒç§¯åˆ†ã€‚这些东西也å�¯ä»¥æŽ¨å¹¿åˆ°æ‹“扑空é—ß_¼Œåœ¨æ‹“扑学的基¼‹€ä¸Šå¾�ç«‹è“væ�¥â€”—这ž®±æ˜¯å¾®åˆ†å‡ ä½•ã€‚从教学上说åQŒå¾®åˆ†å‡ ä½•çš„æ•™æ��åQŒæœ‰ä¸¤ç§�ä¸�å�Œçš„类型，一¿U�是建立在å�¤å…¸å¾®æœºåˆ†çš„基¼‹€ä¸Šçš„“å�¤å…¸å¾®åˆ†å‡ ä½•â€�，主è¦�是关于二¾l´å’Œä¸‰ç»´½Iºé—´ä¸­çš„一些几何é‡�的计½Ž—，比如曲率。还有一¿U�是建立在现代拓扑学的基¼‹€ä¸Šï¼Œ˜q™é‡Œå§‘且¿UîCؓ“现代微分几何â€�——它的核心概念就是“æµ�å½¢â€?manifold)——就是在拓扑½Iºé—´çš„基¼‹€ä¸ŠåŠ äº†ä¸€å¥—å�¯ä»¥è¿›è¡Œå¾®åˆ†è¿�½Ž—çš„¾l“构。现代微分几何是一门é�žå¸æ€¸°å¯Œçš„学科。比如一般æµ�形上的微分的定义ž®±æ¯”传统的微分丰富，我自己就è§�过三ç§�从ä¸�å�Œè§’度给出的½{‰ä­h定义——这一斚w�¢è®©äº‹æƒ…å�˜å¾—å¤�æ�‚一些，但是å�¦å¤–一个方é�¢å®ƒ¾l™äº†å�Œä¸€ä¸ªæ¦‚å¿ëŠš„ä¸�å�Œç�†è§£åQŒå¾€å¾€åœ¨è§£å†³é—®é¢˜æ—¶ä¼šå¼•å‡ÞZ¸�å�Œçš„æ€�èµ\。除了推òq¿å¾®¿U¯åˆ†çš„概念以外，˜q˜å¼•å…¥äº†å¾ˆå¤šæ–°æ¦‚念：tangent space, cotangent space, push forward, pull back, fibre bundle, flow, immersion, submersion ½{‰ç­‰ã€?

˜q‘些òqß_¼Œ‹¹�åŞ在machine learningä¼ég¹Žç›¸å½“æ—‰™«¦ã€‚但是，å�¦çŽ‡åœ°è¯´åQŒè¦�弄懂一些基本的‹¹�åÅž½Ž—法åQ?甚至“创造â€�一些æµ�形算法，òq¶ä¸�需è¦�多ž®‘微分几何的基础。对我的研究æ�¥è¯´åQŒå¾®åˆ†å‡ ä½•æœ€é‡�è¦�的应用就是å¾�立在它之上的å�¦å¤–一个分支：æ�Žç¾¤å’Œæ�Žä»£æ•°â€”—这是数学中两大家æ—�分æž�和代数的一个漂亮的è�”姻。分æž�和代数的å�¦å¤–一处é‡�è¦�çš„¾l“å�ˆåˆ™æ˜¯æ³›å‡½åˆ†æž�åQŒä»¥å�Šåœ¨å…¶åŸº¼‹€ä¸Šçš„调和分æž�ã€?

  

代数åQšä¸€ä¸ªæŠ½è±¡çš„世界
关于抽象代数
回过头æ�¥åQŒå†�说说å�¦ä¸€ä¸ªå¤§å®¶æ—�——代数ã€?

如果说å�¤å…¸å¾®¿U¯åˆ†æ˜¯åˆ†æž�的入门åQŒé‚£ä¹ˆçŽ°ä»£ä»£æ•°çš„入门点则是两个部分：¾U¿æ€§ä»£æ•?linear algebra)和基¼‹€çš„抽象代æ•?abstract algebra)——æ�®è¯´å›½å†…一些教æ��称之äØ“˜q‘世代数ã€?

代数——å��¿UîC¸Šç ”究的似乎是敎ͼŒåœ¨æˆ‘看æ�¥åQŒä¸»è¦�ç ”½I¶çš„是è¿�½Ž—规则。一门代敎ͼŒå…¶å®žéƒ½æ˜¯ä»ŽæŸ�¿U�具体的˜q�算体系中抽象出一些基本规则，建立一个公ç�†ä½“¾p»ï¼Œç„¶å�Žåœ¨è¿™åŸºç¡€ä¸Šè¿›è¡Œç ”½I¶ã€‚一个集å�ˆå†�加上一套è¿�½Ž—规则，ž®±æž„æˆ�一个代数结构。在主è¦�的代数结构中åQŒæœ€½Ž€å�•çš„是群(Group)——它å�ªæœ‰ä¸€¿U�符å�ˆç»“å�ˆçŽ‡çš„å�¯é€†è¿�½Ž—，通常å�«â€œä¹˜æ³•â€�。如果，˜q™ç§�˜q�算也符å�ˆäº¤æ�¢çŽ‡åQŒé‚£ä¹ˆå°±å�«é˜¿è´�å°”¾Ÿ?Abelian Group)。如果有两ç§�˜q�ç®—åQŒä¸€¿U�å�«åŠ æ³•åQŒæ»¡­‘³äº¤æ�¢çŽ‡å’Œç»“å�ˆçŽ‡åQŒä¸€¿U�å�«ä¹˜æ³•åQŒæ»¡­‘³ç»“å�ˆçŽ‡åQŒå®ƒä»¬ä¹‹é—´æ»¡­‘›_ˆ†é…�率åQŒè¿™¿U�丰富一点的¾l“æž„å�«å�šçŽ?Ring)åQŒå¦‚果环上的乘法满èƒö交æ�¢çŽ‡ï¼Œž®±å�«å�¯äº¤æ�¢çŽ¯(Commutative Ring)。如果，一个环的加法和乘法å…ähœ‰äº†æ‰€æœ‰çš„良好性质åQŒé‚£ä¹ˆå°±æˆ�äؓ一个域(Field)。基于域åQŒæˆ‘们å�¯ä»¥å¾�立一¿U�新的结构，能进行加法和æ•îC¹˜åQŒå°±æž„æˆ�了线性代æ•?Linear algebra)ã€?

代数的好处在于，它å�ªå…›_¿ƒ˜q�算规则的演¾lŽï¼Œè€Œä¸�½Ž¡å�‚与è¿�½Ž—的对象。å�ªè¦�定义æ�°å½“，完全å�¯ä»¥è®©ä¸€å�ªçŒ«ä¹˜ä¸€å�ªç‹—得到一头猪:-)。基于抽象è¿�½Ž—规则得到的所有定ç�†å®Œå…¨å�¯ä»¥è¿�用于上é�¢è¯´çš„猫狗乘法。当ç„Óž¼Œåœ¨å®žé™…è¿�用中åQŒæˆ‘们还是希望用它干ç‚ÒŽœ‰æ„�义的事情。学˜q‡æŠ½è±¡ä»£æ•°çš„都知é�“，åŸÞZºŽå‡ æ�¡æœ€½Ž€å�•çš„规则åQŒæ¯”如结å�ˆå¾‹åQŒå°±èƒ½å¯¼å‡ºé�žå¸¸å¤šçš„é‡�è¦�结论——这些结论å�¯ä»¥åº”用到一切满­‘Œ™¿™äº›ç®€å�•è§„则的地方——这是代数的å¨�力所在，我们ä¸�å†�需è¦�äØ“æ¯�一个具体领域é‡�æ–°å¾�立这么多的定ç�†ã€?

抽象代数有在一些基¼‹€å®šç�†çš„基¼‹€ä¸Šï¼Œ˜q›ä¸€æ­¥çš„研究往往分äؓ两个‹¹�æ´¾åQšç ”½I¶æœ‰é™�çš„¼›ÀL•£ä»£æ•°¾l“æž„åQˆæ¯”如有é™�群和有é™�域åQ‰ï¼Œ˜q™éƒ¨åˆ†å†…定w€šå¸¸ç”¨äºŽæ•°è®ºåQŒç¼–ç �，和整数方½E‹è¿™äº›åœ°æ–¹ï¼›å�¦å¤–一个æµ�‹z¾æ˜¯ç ”究˜qžç®‹çš„代数结构，通常和拓扑与分æž�è�”系在一èµøP¼ˆæ¯”如拓扑¾Ÿ¤ï¼Œæ�Žç¾¤åQ‰ã€‚我在学习中的focus主è¦�是å�Žè€…ã€?

¾U¿æ€§ä»£æ•ŽÍ¼šâ€œçº¿æ€§â€�的基础åœîC½�
对于å�šLearning, vision, optimization或者statisticsçš„ä�hæ�¥è¯´åQŒæŽ¥è§¦æœ€å¤šçš„莫过于线性代数——这也是我们在大学低òq´çñ”ž®±å¼€å§‹å­¦ä¹ çš„。线性代敎ͼŒåŒ…括建立在它基础上的å�„ç§�学科åQŒæœ€æ ¸å¿ƒçš„两个概忉|˜¯å�‘é‡�½Iºé—´å’Œçº¿æ€§å�˜æ�¢ã€‚线性å�˜æ�¢åœ¨¾U¿æ€§ä»£æ•îC¸­çš„地ä½�，和连¾l­å‡½æ•°åœ¨åˆ†æž�中的åœîC½�åQŒæˆ–者å�Œæ€�映ž®„在¾Ÿ¤è®ºä¸­çš„åœîC½�是一æ ïLš„——它是ä¿�æŒ�基¼‹€˜q�ç®—åQˆåŠ æ³•å’Œæ•îC¹˜åQ‰çš„映射ã€?

在learning中有˜q™æ ·çš„一¿U�們Ö�‘——鄙视线性算法，标榜é�žçº¿æ€§ã€‚也许在很多场å�ˆä¸‹é�¢åQŒæˆ‘们需è¦�é�ž¾U¿æ€§æ�¥æ��è¿°å¤�æ�‚的现实世界，但是无论什么时候，¾U¿æ€§éƒ½æ˜¯å…·æœ‰æ ¹æœ¬åœ°ä½�的。没有线性的基础åQŒå°±ä¸�å�¯èƒ½å­˜åœ¨æ‰€è°“çš„é�žçº¿æ€§æŽ¨òqÑ�€‚我们常用的é�žçº¿æ€§åŒ–的方法包括æµ�形和kernelizationåQŒè¿™ä¸¤è€…都需è¦�在æŸ�个阶段回归¾U¿æ€§ã€‚æµ�形需è¦�在æ¯�个局部å¾�ç«‹å’Œ¾U¿æ€§ç©ºé—´çš„映射åQŒé€šè¿‡æŠŠè®¸å¤šå±€éƒ¨çº¿æ€§ç©ºé—´è¿žæŽ¥è“væ�¥åÅžæˆ�é�ž¾U¿æ€§ï¼›è€Œkernerlization则是通过¾|®æ�¢å†…积¾l“构把原¾U¿æ€§ç©ºé—´â€œé�ž¾U¿æ€§â€�地映射到å�¦å¤–一个线性空é—ß_¼Œå†�进行线性空间中所能进行的æ“�作。而在分æž�领域åQŒçº¿æ€§çš„˜q�算更是无处ä¸�在åQŒå¾®åˆ†ï¼Œ¿U¯åˆ†åQŒå‚…ç«‹å�¶å�˜æ�¢åQŒæ‹‰æ™®æ‹‰æ–¯å�˜æ�¢ï¼Œ˜q˜æœ‰¾lŸè®¡ä¸­çš„å�‡å€û|¼Œé€šé€šéƒ½æ˜¯çº¿æ€§çš„ã€?

泛函分æž�åQšä»Žæœ‰é™�¾l´å�‘æ— é™�¾l´è¿ˆ˜q?
在大学中学习的线性代敎ͼŒå®ƒçš„½Ž€å�•ä¸»è¦�因为它是在有é™�¾l´ç©ºé—´è¿›è¡Œçš„åQŒå› ä¸ºæœ‰é™�，我们无须借助于太多的分æž�手段。但是，有é™�¾l´ç©ºé—´åƈä¸�能有效地表达我们的世界——最é‡�è¦�的，函数构æˆ�了线性空é—ß_¼Œå�¯æ˜¯å®ƒæ˜¯æ— é™�¾l´çš„。对函数˜q›è¡Œçš„最é‡�è¦�çš„è¿�½Ž—都在无é™�ç»´½Iºé—´˜q›è¡ŒåQŒæ¯”如傅立å�¶å�˜æ�¢å’Œå°�波分æž�。这表明了，ä¸ÞZº†ç ”究函数åQˆæˆ–者说˜qžç®‹ä¿¡å�·åQ‰ï¼Œæˆ‘们需è¦�打破有é™�ç»´½Iºé—´çš„æ�Ÿ¾~šï¼Œèµ°å…¥æ— é™�¾l´çš„函数½Iºé—´â€”—这里é�¢çš„第一步，ž®±æ˜¯æ³›å‡½åˆ†æž�ã€?

泛函分æž�(Functional Analysis)是研½I¶çš„是一般的¾U¿æ€§ç©ºé—ß_¼ŒåŒ…括有é™�¾l´å’Œæ— é™�¾lß_¼Œä½†æ˜¯å¾ˆå¤šä¸œè¥¿åœ¨æœ‰é™�维下显得很trivialåQŒçœŸæ­£çš„困难往往在无é™�维的时候出现。在泛函分æž�中，½Iºé—´ä¸­çš„元素˜q˜æ˜¯å�«å�‘é‡�，但是¾U¿æ€§å�˜æ�¢é€šå¸¸ä¼šå�«ä½œâ€œç®—å­�â€?operator)。除了加法和æ•îC¹˜åQŒè¿™é‡Œè¿›ä¸€æ­¥åŠ å…¥äº†ä¸€äº›è¿�½Ž—，比如加入范数去表è¾ä�€œå�‘é‡�的长度â€�或者“元素的è·�离â€�，˜q™æ ·çš„空间å�«å�šâ€œèµ‹èŒƒçº¿æ€§ç©ºé—´â€?normed space)åQŒå†�˜q›ä¸€æ­¥çš„åQŒå�¯ä»¥åŠ å…¥å†…¿U¯è¿�½Ž—，˜q™æ ·çš„空间å�«â€œå†…¿U¯ç©ºé—´â€?Inner product space)ã€?

大家å�‘现åQŒå½“˜q›å…¥æ— é™�¾l´çš„æ—‰™—´æ—Óž¼Œå¾ˆå¤šè€�的观念ä¸�å†�适用了，一切都需è¦�é‡�新审视ã€?

所有的有é™�¾l´ç©ºé—´éƒ½æ˜¯å®Œå¤‡çš„åQˆæŸ¯è¥¿åº�列收敛）åQŒå¾ˆå¤šæ— é™�ç»´½Iºé—´å�´æ˜¯ä¸�完备的åQˆæ¯”如闭区间上的˜qžç®‹å‡½æ•°åQ‰ã€‚在˜q™é‡ŒåQŒå®Œå¤‡çš„½Iºé—´æœ‰ç‰¹ŒDŠçš„å��称åQšå®Œå¤‡çš„赋范½Iºé—´å�«å·´æ‹¿èµ«½Iºé—´(Banach space)åQŒå®Œå¤‡çš„内积½Iºé—´å�«å¸Œž®”伯特空é—?Hilbert space)ã€?
在有é™�ç»´½Iºé—´ä¸­ç©ºé—´å’Œå®ƒçš„对å�¶½Iºé—´çš„是完全å�Œæž„的，而在无é™�¾l´ç©ºé—´ä¸­åQŒå®ƒä»¬å­˜åœ¨å¾®å¦™çš„差别ã€?
在有é™�ç»´½Iºé—´ä¸­ï¼Œæ‰€æœ‰çº¿æ€§å�˜æ�¢ï¼ˆçŸ©é˜µåQ‰éƒ½æ˜¯æœ‰ç•Œå�˜æ�¢ï¼Œè€Œåœ¨æ— é™�¾lß_¼Œå¾ˆå¤š½Ž—å­�是无界的(unbounded)åQŒæœ€é‡�è¦�的一个例å­�是¾l™å‡½æ•°æ±‚对{€?
在有é™�ç»´½Iºé—´ä¸­ï¼Œä¸€åˆ‡æœ‰ç•Œé—­é›†éƒ½æ˜¯ç´§çš„，比如å�•ä½�ç�ƒã€‚而在所有的无é™�¾l´ç©ºé—´ä¸­åQŒå�•ä½�ç�ƒéƒ½ä¸�是紧的——也ž®±æ˜¯è¯ß_¼Œå�¯ä»¥åœ¨å�•ä½�ç�ƒå†…撒入无é™�个点，而ä¸�出现一个æž�é™�点ã€?
在有é™�ç»´½Iºé—´ä¸­ï¼Œ¾U¿æ€§å�˜æ�¢ï¼ˆçŸ©é˜µåQ‰çš„è°Þq›¸å½“于全部的特å¾�å€û|¼Œåœ¨æ— é™�ç»´½Iºé—´ä¸­ï¼Œ½Ž—å­�的谱的结构比˜q™ä¸ªå¤�æ�‚得多åQŒé™¤äº†ç‰¹å¾�值组æˆ�的点谱(point spectrum)åQŒè¿˜æœ‰approximate point spectrumå’Œresidual spectrum。虽然å¤�æ�‚，但是åQŒä¹Ÿæ›´äؓ有趣。由此åÅžæˆ�了一个相当丰富的分支——算å­�è°±è®?Spectrum theory)ã€?
在有é™�ç»´½Iºé—´ä¸­ï¼Œä»ÖM½•ä¸€ç‚¹å¯¹ä»ÖM½•ä¸€ä¸ªå­�½Iºé—´æ€Õd­˜åœ¨æŠ•å½±ï¼Œè€Œåœ¨æ— é™�¾l´ç©ºé—´ä¸­åQŒè¿™ž®×ƒ¸�一定了åQŒå…·æœ‰è¿™¿U�良好特性的å­�空间有个专门的å��称切比雪夫½Iºé—´(Chebyshev space)。这个概忉|˜¯çŽîC»£é€ÆD¿‘ç�†è®ºçš„基¼‹€(approximation theory)。函数空间的é€ÆD¿‘ç�†è®ºåœ¨Learning中应该有ç�€é�žå¸¸é‡�è¦�的作用，但是现在看到的è¿�用现代é€ÆD¿‘ç�†è®ºçš„文章åƈä¸�多ã€?
¾l§ç®‹å¾€å‰�：巴拿赫代敎ͼŒè°ƒå’Œåˆ†æž�åQŒå’Œæ�Žä»£æ•?
基本的泛函分æž�ç‘ô¾l­å¾€å‰�èµ°åQŒæœ‰ä¸¤ä¸ªé‡�è¦�çš„æ–¹å�‘。第一个是巴拿赫代æ•?Banach Algebra)åQŒå®ƒž®±æ˜¯åœ¨å·´æ‹¿èµ«½Iºé—´åQˆå®Œå¤‡çš„内积½Iºé—´åQ‰çš„基础上引入乘法（˜q™ä¸�å�ŒäºŽæ•îC¹˜åQ‰ã€‚比如矩阵——它除了加法和数乘，˜q˜èƒ½å�šä¹˜æ³•â€”—这ž®±æž„æˆ�了一个巴拿赫代数。除此以外，值域完备的有界算å­�，òqÏx–¹å�¯ç§¯å‡½æ•°åQŒéƒ½èƒ½æž„æˆ�巴拿赫代数。巴拿赫代数是泛函分æž�的抽象åQŒå¾ˆå¤šå¯¹äºŽæœ‰ç•Œç®—å­�导出的¾l“论åQŒè¿˜æœ‰ç®—å­�è°±è®ÞZ¸­çš„许多定ç�†ï¼Œå®ƒä»¬ä¸�仅仅对½Ž—å­�适用åQŒå®ƒä»¬å…¶å®žå�¯ä»¥ä»Žä¸€èˆ¬çš„巴拿赫代æ•îC¸­å¾—到åQŒåƈ且应用在½Ž—å­�以外的地æ–�V€‚巴拿赫代数让你站在更高的高度看待泛函分æž�中的结论，但是åQŒæˆ‘对它在实际问题中能比泛函分æž�能多带æ�¥ä»€ä¹ˆä¸œè¥¿è¿˜æœ‰å¾…æ€�考ã€?

最能把泛函分æž�和实际问题在一èµïLš„å�¦ä¸€ä¸ªé‡�è¦�æ–¹å�‘是调和分æž�(Harmonic Analysis)。我在这里列丑֮ƒçš„两个个å­�领域，傅立å�¶åˆ†æž�å’Œž®�æ‡L分æž�åQŒæˆ‘惌™¿™å·²ç»�能说明它的实际ä­h倹{€‚它研究的最核心的问题就是怎么用基函数去é€ÆD¿‘和构造一个函数。它研究的是函数½Iºé—´çš„问题，ä¸�å�¯é�¿å…�çš„å¿…™åÖM»¥æ³›å‡½åˆ†æž�为基¼‹€ã€‚除了傅立å�¶å’Œå°�波，调和分æž�˜q˜ç ”½I¶ä¸€äº›å¾ˆæœ‰ç”¨çš„函数空é—ß_¼Œæ¯”如Hardy spaceåQŒSobolev spaceåQŒè¿™äº›ç©ºé—´æœ‰å¾ˆå¤šå¾ˆå¥½çš„性质åQŒåœ¨å·¥ç¨‹ä¸­å’Œç‰©ç�†å­¦ä¸­éƒ½æœ‰å¾ˆé‡�è¦�的应用。对于visionæ�¥è¯´åQŒè°ƒå’Œåˆ†æž�在信å�·çš„表达，囑փ�的构造，都是é�žå¸¸æœ‰ç”¨çš„工兗÷€?

当分æž�å’Œ¾U¿æ€§ä»£æ•°èµ°åœ¨ä¸€èµøP¼Œäº§ç”Ÿäº†æ³›å‡½åˆ†æž�和调和分æž�åQ›å½“分æž�和群è®ø™µ°åœ¨ä¸€èµøP¼Œæˆ‘们ž®±æœ‰äº†æ�Ž¾Ÿ?Lie Group)å’Œæ�Žä»£æ•°(Lie Algebra)。它们给˜qžç®‹¾Ÿ¤ä¸Šçš„元素赋予了代数¾l“构。我一直认ä¸ø™¿™æ˜¯ä¸€é—¨é�žå¸¸æ¼‚亮的数学åQšåœ¨ä¸€ä¸ªä½“¾pÖM¸­åQŒæ‹“扑，微分和代数走åˆîCº†ä¸€èµ—÷€‚在一定æ�¡ä»¶ä¸‹åQŒé€šè¿‡æ�Žç¾¤å’Œæ�Žä»£æ•°çš„è�”¾p»ï¼Œå®ƒè®©å‡ ä½•å�˜æ�¢çš„结å�ˆå�˜æˆ�了¾U¿æ€§è¿�½Ž—，让å­�¾Ÿ¤åŒ–为线性å­�½Iºé—´åQŒè¿™æ ·å°±ä¸ºLearning中许多é‡�è¦�的模型和算法的引入到对几何˜q�动的å¾�模创造了必è¦�çš„æ�¡ä»¶ã€‚因此，我们ç›æ€¿¡æ�Žç¾¤å’Œæ�Žä»£æ•°å¯¹äºŽvision有ç�€é‡�è¦�æ„�义åQŒå�ªä¸�过学习它的é�“èµ\å�¯èƒ½ä¼šå¾ˆè‰°è¾›åQŒåœ¨å®ƒä¹‹å‰�需è¦�学习很多别的数学ã€?

  

çŽîC»£æ¦‚率论：在现代分æž�基¼‹€ä¸Šå†�生　
最å�Žï¼Œå†�简å�•è¯´è¯´å¾ˆå¤šLearningçš„ç ”½I¶è€…特别关心的数学分支åQšæ¦‚率论。自从Kolmogorov在上世纪30òq´ä»£æŠŠæµ‹åº¦å¼•å…¥æ¦‚率论以æ�¥åQŒæµ‹åº¦ç�†è®ºå°±æˆ�äØ“çŽîC»£æ¦‚率论的基础。在˜q™é‡ŒåQŒæ¦‚率定义äØ“‹¹‹åº¦åQŒéš�机å�˜é‡�定义äØ“å�¯æµ‹å‡½æ•°åQŒæ�¡ä»‰™š�机å�˜é‡�定义äØ“å�¯æµ‹å‡½æ•°åœ¨æŸ�个函数空间的投媄åQŒå�‡å€¼åˆ™æ˜¯å�¯‹¹‹å‡½æ•°å¯¹äºŽæ¦‚率测度的¿U¯åˆ†ã€‚值得注æ„�的是åQŒå¾ˆå¤šçš„çŽîC»£è§‚点åQŒå¼€å§‹ä»¥æ³›å‡½åˆ†æž�çš„æ€�èµ\看待概率论的基础概念åQŒéš�机å�˜é‡�æž„æˆ�了一个å�‘é‡�空é—ß_¼Œè€Œå¸¦½W¦å�·æ¦‚率‹¹‹åº¦åˆ™æž„æˆ�了它的对å�¶½Iºé—´åQŒå…¶ä¸­ä¸€æ–ÒŽ–½åŠ äºŽå¯ÒŽ–¹ž®±åÅžæˆ�å�‡å€¹{€‚角度虽然ä¸�一æ øP¼Œä¸�过˜q™ä¸¤¿U�æ–¹å¼�殊途å�Œå½’，形æˆ�的基¼‹€æ˜¯ç­‰ä»ïLš„ã€?

在现代概率论的基¼‹€ä¸Šï¼Œè®¸å¤šä¼ ç»Ÿçš„分支得åˆîCº†æž�大丰富åQŒæœ€æœ‰ä»£è¡¨æ€§çš„包括鞅论(Martingale)——由研究赌å�šå¼•å�‘çš„ç�†è®ºï¼ŒçŽ°åœ¨ä¸»è¦�用于金èž�åQˆè¿™é‡Œå�¯ä»¥çœ‹å‡ø™µŒå�šå’Œé‡‘èž�çš„ç�†è®ø™�”¾p»ï¼Œ:-PåQ‰ï¼Œå¸ƒæœ—˜q�动(Brownian Motion)——连¾l­éš�æœø™¿‡½E‹çš„基础åQŒä»¥å�Šåœ¨æ­¤åŸº¼‹€ä¸Šå¾�ç«‹çš„éš�机分æž�(Stochastic Calculus)åQŒåŒ…括éš�机积分（寚wš�æœø™¿‡½E‹çš„路径˜q›è¡Œ¿U¯åˆ†åQŒå…¶ä¸­æ¯”较有代表性的å�«ä¼Šè—¤ç§¯åˆ?Ito Integral)åQ‰ï¼Œå’Œéš�机微分方½E‹ã€‚对于连¾l­å‡ ä½•è¿�用å¾�立概率模型以å�Šå¯¹åˆ†å¸ƒçš„å�˜æ�¢çš„研究¼›ÖM¸�å¼€˜q™äº›æ–šw�¢çš„知识ã€?

  

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