12個小球其中有一個是次品，不過不知道輕重，請問用天平能用三次測量的機會找出那個次品嗎？

這個問題很有意思，我感覺不是考算法，更像是考察人的思維敏捷度。解答如下：

把這三組乒乓球分別編號為 A組、B組、C組。

首先，選任意的兩組球放在天平上稱。例如，我們把A、B兩組放在天平上稱。這就會出現兩種情況:

第一種情況，天平兩邊平衡。那么，不合格的壞球必在c組之中。接著，從c組中任意取出兩個球 (例如C1、C2)來，分別放在左右兩個盤上，稱第二次。這時，又可能出現兩種情況:

1·天平兩邊平衡。這樣，壞球必在C3、C4中。這是因為，在12個乒乓球中，只有一個是不合格的壞球。只有C1、C2中有一個是壞球時，天平兩邊才不平衡。

既然天平兩邊平衡了，可見，C1、C2都是合格的好球。稱第三次的時候，可以從C3、C4中任意取出一個球(例如C3)，同另一個合格的好球(例如C1)分別放在

天平的兩邊，就可以推出結果。這時候可能有兩種結果:如果天平兩邊平衡，那么，壞球必是C4;如果天平兩邊不平衡，那么，壞球必是C3。

2·天平兩邊不平衡。這樣，壞球必在C1、C2中。這是因為，只有C1、C2中有一個是壞球時，天平兩邊才不能平衡。這是稱第二次。稱第三次的時候，

可以從C1、C2中任意取出一個球(例如C1)，同另外一個合格的好球(例如C3)，分別放在天平的兩邊，就可以推出結果。道理同上。以上是第一次稱之后

出現第一種情況的分析。

第二種情況，第一次稱過后天平兩邊不平衡。這說明，c組肯定都是合格的好球，而不合格的壞球必在A組或B組之中。我們假設:A組 (有A1、A2、A3、A4四球)重，

B組(有B1、B2、B3、B4四球)輕。這時候，需要將重盤中的A1取出放在一旁，將A2、A3取出放在輕盤中，A4仍留在重盤中。同時，再將輕盤中的B1、 B4取出放在一旁，

將B2取出放在重盤中，B3仍留在輕盤中，另取一個標準球C1也放在重盤中。經過這樣的交換之后，每盤中各有三個球: 原來的重盤中，現在放的是A4、B2、C1，原來的輕盤中，

現在放的是A2、A3、B3。這時，可以稱第二次了。這次稱后可能出現的是三種情況:

1·天平兩邊平衡。這說明A4B2C1=A2A3B3，亦即說明，這六只是好球，這樣，壞球必在盤外的A1或B1或B4之中。已知A盤重于B盤。

所以，A1或是好球，或是重于好球;而B1、B4或是好球，或是輕于好球。這時候，可以把B1、B4各放在天平的一端，稱第三次。這時也可能出現三種情況:

(一)如果天平兩邊平衡，可推知A1是不合格的壞球，這是因為12只球只有一只壞球，既然B1和B4重量相同，可見這兩只球是好球，而A1為壞球;

(二)B1比B4輕，則B1是壞球;(三) B4比B1輕，則B4是壞球，這是因為B1和B4或是好球，或是輕于好球，所以第三次稱實則是在兩個輕球中比一比哪一個更輕，

更輕的必是壞球。

2·放著A4、B2、C1的盤子(原來放A組)比放A2、A3、B3的盤子(原來放B組)重。在這種情況下，則壞球必在未經交換的A4或B3之中。這是因為已交換的

B2、A2、A3個球并未影響輕重，可見這三只球都是好球。以上說明A4或B3這其中有一個是壞球。這時候，只需要取A4或B3同標準球C1比較就行了。

例如，取A4放在天平的一端，取C1放在天平的另一端。這時稱第三次。如果天平兩邊平衡，那么B3是壞球; 如果天平不平，那么A4就是壞球 (這時A4重于C1)。

3.放A4、B2、C1的盤子(原來放A組)比放在A2、A3、B3的盤子(原來放B組)輕。在這種情況下，壞球必在剛才交換過的A2、A3、B23球之中。這是因為，

如果A2、A3、B2都是好球，那么壞球必在A4或B3之中，如果A4或B3是壞球，那么放A4、B2、C1的盤子一定重于放A2、A3、B3的盤子，現在的情況恰好相反，

所以，并不是A2、A3、B2都是好球。以上說明A2、A3、B2中有一個是壞球。這時候，只需將A2同A3相比，稱第三次，即推出哪一個是壞球。

把A2和A3各放在天平的一端稱第三次，可能出現三種情況:

(一)天平兩邊乎衡，這可推知B2是壞球;

(二)A2重于A3，可推知A2是壞球;

(三)A3重于A2，可推知A3是壞球。根據稱第一次之后，出現的A組與B組輕重不同的情況，我們剛才假設A組重于B組，并作了以上的分析，

說明在這種情況下如何推論哪一個球是壞球。如果我們現在假定出現的情況是A組輕于B組，這又該如何推論?請你們試著自己推論一下。

摘自：http://zhidao.baidu.com/question/131305507.html

posted on 2012-02-10 17:04 zhangxl 閱讀(1647) 評論(0) 編輯收藏所屬分類: arithmetics

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