最近一段時間看到版上關(guān)于浮點(diǎn)變量精度的討論比較多，那么我就給對這個問題有疑惑的人詳細(xì)的講解一下intel的處理器上是如何處理浮點(diǎn)數(shù)的。為了能更方便的講解，我在這里只以float型為例，從存儲結(jié)構(gòu)和算法上來講，double和float是一樣的，不一樣的地方僅僅是float是32位的，double是64位的，所以double能存儲更高的精度。還要說的一點(diǎn)是文章和程序一樣，兼容性是有一定范圍的，所以你想要完全讀懂本文，你最好對二進(jìn)制、十進(jìn)制、十六進(jìn)制的轉(zhuǎn)換有比較深入的了解，了解數(shù)據(jù)在內(nèi)存中的存儲結(jié)構(gòu)，并且會使用VC.net編譯簡單的控制臺程序。OK，下面我們開始。

大家都知道任何數(shù)據(jù)在內(nèi)存中都是以二進(jìn)制（1或著0）順序存儲的，每一個1或著0被稱為1位，而在x86CPU上一個字節(jié)是8位。比如一個16位（2字節(jié)）的short int型變量的值是1156，那么它的二進(jìn)制表達(dá)就是：00000100 10000100。由于Intel CPU的架構(gòu)是Little Endian（請參數(shù)機(jī)算機(jī)原理相關(guān)知識），所以它是按字節(jié)倒序存儲的，那么就因該是這樣：10000100 00000100，這就是定點(diǎn)數(shù)1156在內(nèi)存中的結(jié)構(gòu)。

那么浮點(diǎn)數(shù)是如何存儲的呢？目前已知的所有的C/C++編譯器都是按照IEEE（國際電子電器工程師協(xié)會）制定的IEEE 浮點(diǎn)數(shù)表示法來進(jìn)行運(yùn)算的。這種結(jié)構(gòu)是一種科學(xué)表示法，用符號（正或負(fù)）、指數(shù)和尾數(shù)來表示，底數(shù)被確定為2，也就是說是把一個浮點(diǎn)數(shù)表示為尾數(shù)乘以2的指數(shù)次方再加上符號。下面來看一下具體的float的規(guī)格：

float
共計(jì)32位，折合4字節(jié)
由最高到最低位分別是第31、30、29、……、0位
31位是符號位，1表示該數(shù)為負(fù)，0反之。
30-23位，一共8位是指數(shù)位。
22-0位，一共23位是尾數(shù)位。
每8位分為一組，分成4組，分別是A組、B組、C組、D組。
每一組是一個字節(jié)，在內(nèi)存中逆序存儲，即：DCBA

我們先不考慮逆序存儲的問題，因?yàn)槟菢訒炎x者徹底搞暈，所以我先按照順序的來講，最后再把他們翻過來就行了。

現(xiàn)在讓我們按照IEEE浮點(diǎn)數(shù)表示法，一步步的將float型浮點(diǎn)數(shù)123456.0f轉(zhuǎn)換為十六進(jìn)制代碼。在處理這種不帶小數(shù)的浮點(diǎn)數(shù)時，直接將整數(shù)部轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制表示：1 11100010 01000000也可以這樣表示：11110001001000000.0然后將小數(shù)點(diǎn)向左移，一直移到離最高位只有1位，就是最高位的1：1.11100010010000000一共移動了16位，在布耳運(yùn)算中小數(shù)點(diǎn)每向左移一位就等于在以2為底的科學(xué)計(jì)算法表示中指數(shù)+1，所以原數(shù)就等于這樣：1.11100010010000000 * ( 2 ^ 16 )好了，現(xiàn)在我們要的尾數(shù)和指數(shù)都出來了。顯而易見，最高位永遠(yuǎn)是1，因?yàn)槟悴豢赡馨奄I了16個雞蛋說成是買了0016個雞蛋吧？（呵呵，可別拿你買的臭雞蛋甩我~），所以這個1我們還有必要保留他嗎？（眾：沒有！）好的，我們刪掉他。這樣尾數(shù)的二進(jìn)制就變成了：11100010010000000最后在尾數(shù)的后面補(bǔ)0，一直到補(bǔ)夠23位：11100010010000000000000（MD，這些個0差點(diǎn)沒把我數(shù)的背過氣去~）

再回來看指數(shù)，一共8位，可以表示范圍是0 - 255的無符號整數(shù)，也可以表示-128 - 127的有符號整數(shù)。但因?yàn)橹笖?shù)是可以為負(fù)的，所以為了統(tǒng)一把十進(jìn)制的整數(shù)化為二進(jìn)制時，都先加上127，在這里，我們的16加上127后就變成了143，二進(jìn)制表示為：10001111
12345.0f這個數(shù)是正的，所以符號位是0，那么我們按照前面講的格式把它拼起來：
0 10001111 11100010010000000000000
01000111 11110001 00100000 00000000
再轉(zhuǎn)化為16進(jìn)制為：47 F1 20 00，最后把它翻過來，就成了：00 20 F1 47。
現(xiàn)在你自己把54321.0f轉(zhuǎn)為二進(jìn)制表示，自己動手練一下！

有了上面的基礎(chǔ)后，下面我再舉一個帶小數(shù)的例子來看一下為什么會出現(xiàn)精度問題。
按照IEEE浮點(diǎn)數(shù)表示法，將float型浮點(diǎn)數(shù)123.456f轉(zhuǎn)換為十六進(jìn)制代碼。對于這種帶小數(shù)的就需要把整數(shù)部和小數(shù)部分開處理。整數(shù)部直接化二進(jìn)制：100100011。小數(shù)部的處理比較麻煩一些，也不太好講，可能反著講效果好一點(diǎn)，比如有一個十進(jìn)制純小數(shù)0.57826，那么5是十分位，位階是1/10；7是百分位，位階是1/100；8是千分位，位階是1/1000……，這些位階分母的關(guān)系是10^1、10^2、10^3……，現(xiàn)假設(shè)每一位的序列是{S1、S2、S3、……、Sn}，在這里就是5、7、8、2、6，而這個純小數(shù)就可以這樣表示：n = S1 * ( 1 / ( 10 ^ 1 ) ) + S2 * ( 1 / ( 10 ^ 2 ) ) + S3 * ( 1 / ( 10 ^ 3 ) ) + …… + Sn * ( 1 / ( 10 ^ n ) )。把這個公式推廣到b進(jìn)制純小數(shù)中就是這樣：
n = S1 * ( 1 / ( b ^ 1 ) ) + S2 * ( 1 / ( b ^ 2 ) ) + S3 * ( 1 / ( b ^ 3 ) ) + …… + Sn * ( 1 / ( b ^ n ) )

天哪，可惡的數(shù)學(xué)，我怎么快成了數(shù)學(xué)老師了！沒辦法，為了廣大編程愛好者的切身利益，喝口水繼續(xù)！現(xiàn)在一個二進(jìn)制純小數(shù)比如0.100101011就應(yīng)該比較好理解了，這個數(shù)的位階序列就因該是1/(2^1)、1/(2^2)、1/(2^3)、1/(2^4)，即0.5、0.25、0.125、0.0625……。乘以S序列中的1或著0算出每一項(xiàng)再相加就可以得出原數(shù)了。現(xiàn)在你的基礎(chǔ)知識因該足夠了，再回過頭來看0.45這個十進(jìn)制純小數(shù)，化為該如何表示呢？現(xiàn)在你動手算一下，最好不要先看到答案，這樣對你理解有好處。

?
我想你已經(jīng)迫不及待的想要看答案了，因?yàn)槟惆l(fā)現(xiàn)這跟本算不出來！來看一下步驟：1 / 2 ^1位（為了方便，下面僅用2的指數(shù)來表示位），0.456小于位階值0.5故為0；2位，0.456大于位階值0.25，該位為1，并將0.45減去0.25得0.206進(jìn)下一位；3位，0.206大于位階值0.125，該位為1，并將0.206減去0.125得0.081進(jìn)下一位；4位，0.081大于0.0625，為1，并將0.081減去0.0625得0.0185進(jìn)下一位；5位0.0185小于0.03125，為0……問題出來了，即使超過尾數(shù)的最大長度23位也除不盡！這就是著名的浮點(diǎn)數(shù)精度問題了。不過我在這里不是要給大家講《數(shù)值計(jì)算》，用各種方法來提高計(jì)算精度，因?yàn)槟翘嬰s了，恐怕我講上一年也理不清個頭緒啊。我在這里就僅把浮點(diǎn)數(shù)表示法講清楚便達(dá)到目的了。

OK，我們繼續(xù)。嗯，剛說哪了？哦對對，那個數(shù)還沒轉(zhuǎn)完呢，反正最后一直求也求不盡，加上前面的整數(shù)部算夠24位就行了：1111011.01110100101111001。某BC問：“不是23位嗎？”我：“倒，不是說過了要把第一個1去掉嗎？當(dāng)然要加一位嘍！”現(xiàn)在開始向左移小數(shù)點(diǎn)，大家和我一起移，眾：“1、2、3……”好了，一共移了6位，6加上127得131（怎么跟教小學(xué)生似的？呵呵~），二進(jìn)制表示為：10000101，符號位為……再……不說了，越說越啰嗦，大家自己看吧：
0 ?10000101 ?11101101110100101111001
42 ?F6 ?E9 ?79
79 ?E9 ?F6 ?42

下面再來講如何將純小數(shù)轉(zhuǎn)化為十六進(jìn)制。對于純小數(shù)，比如0.0456，我們需要把他規(guī)格化，變?yōu)?.xxxx * （2 ^ n ）的型式，要求得純小數(shù)X對應(yīng)的n可用下面的公式：
n = int( 1 + log (2)X );

0.0456我們可以表示為1.4592乘以以2為底的-5次方的冪，即1.4592 * ( 2 ^ -5 )。轉(zhuǎn)化為這樣形式后，再按照上面第二個例子里的流程處理：
1. 01110101100011100010001
去掉第一個1
01110101100011100010001
-5 + 127 = 122
0 ?01111010 ?01110101100011100010001
最后：
11 C7 3A 3D

另外不得不提到的一點(diǎn)是0.0f對應(yīng)的十六進(jìn)制是00 00 00 00，記住就可以了。

最后貼一個可以分析并輸出浮點(diǎn)數(shù)結(jié)構(gòu)的函數(shù)源代碼，有興趣的自己看看吧：

// 輸入4個字節(jié)的浮點(diǎn)數(shù)內(nèi)存數(shù)據(jù)
void DecodeFloat( BYTE pByte[4] )
{
?printf( "原始（十進(jìn)制）：%d ?%d ?%d ?%d\n" , (int)pByte[0],
? (int)pByte[1], (int)pByte[2], (int)pByte[3] );
?printf( "翻轉(zhuǎn)（十進(jìn)制）：%d ?%d ?%d ?%d\n" , (int)pByte[3],
? (int)pByte[2], (int)pByte[1], (int)pByte[0] );
?bitset<32> bitAll( *(ULONG*)pByte );
?string strBinary = bitAll.to_string<char, char_traits<char>, allocator<char> >();
?strBinary.insert( 9, " ?" );
?strBinary.insert( 1, " ?" );
?cout << "二進(jìn)制：" << strBinary.c_str() << endl;
?cout << "符號：" << ( bitAll[31] ? "-" : "+" ) << endl;
?bitset<32> bitTemp;
?bitTemp = bitAll;
?bitTemp <<= 1;
?LONG ulExponent = 0;
?for ( int i = 0; i < 8; i++ )
?{
? ulExponent |= ( bitTemp[ 31 - i ] << ( 7 - i ) );
?}
?ulExponent -= 127;
?cout << "指數(shù)（十進(jìn)制）：" << ulExponent << endl;
?bitTemp = bitAll;
?bitTemp <<= 9;
?float fMantissa = 1.0f;
?for ( int i = 0; i < 23; i++ )
?{
? bool b = bitTemp[ 31 - i ];
? fMantissa += ( (float)bitTemp[ 31 - i ] / (float)( 2 << i ) );
?}
?cout << "尾數(shù)（十進(jìn)制）：" ?<< fMantissa << endl;
?float fPow;
?if ( ulExponent >= 0 )
?{
? fPow = (float)( 2 << ( ulExponent - 1 ) );
?}
?else
?{
? fPow = 1.0f / (float)( 2 << ( -1 - ulExponent ) );
?}
?cout << "運(yùn)算結(jié)果：" << fMantissa * fPow << endl;
}

累死了，我才發(fā)現(xiàn)這篇文章雖然短，然而確是最難寫的。上帝，我也不是機(jī)算機(jī)，然而為什么我滿眼都只有1和0？看來我也快成了黑客帝國里的那個看通迅員了……希望大家能不辜負(fù)我的一翻辛苦，幫忙up吧！


也就是32位浮點(diǎn)數(shù)在內(nèi)存中如果存儲為 79 ?E9 ?F6 ?42
則先將其到序 42 ?F6 ?E9 ?79使其高位在前
再將其轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制
0 10000101 11101101110100101111001
最高位是符號位 0表示是正值
接下來8位是指數(shù)位 轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制再減127 結(jié)果6
右移6位111011。01110100101111001
最前面添1 變?yōu)?111011。01110100101111001
整數(shù)部分為1111011 轉(zhuǎn)為十進(jìn)制 123
小數(shù)部分01110100101111001
其中0對應(yīng)2的-1次方,接下來的1對應(yīng)2的-2次方
即0*2(-1)+1*2(-2)+1*2(-3)+1*2(-4)+0*2(-5)+1*2(-6)...... ~ 0.456
最后相加接近于0。456
結(jié)果123.456