FrankJinhao — Tue, 07 Jan 2014 14:24:00 GMT

最大多�D�子串和问题是一个杭电ACM的OJ题，是一个很典型的动态规划问题�?br />�|�上关于�q�个问题有很多帖子都�l�出了相应的问题解决�Ҏ��q��有代码，但是我一开始看的时候非常费解，闲下来仔�l�琢��了一下这个问题，�q�里��给��Z��个我对这个问题的理解�?br />
首先我们看看�q�个问题的描�q�ͼ�
�l�定一个整数数�l�A[]�Q?br />�l�定数组元素个数N�Q?br />�l�定整数M�Q?br />
求A[]中�Q意M个不�怺�的子串的最大和�?br />
例如�Q�给定A[] = {3, -2, 1, 4 ,-2, 5}�Q?M = 2�Q?N = 6�Q?br />那么�Q�它拥有最大和的两�Q�M�Q�个子串为{3}�Q�{1�Q?4�Q?-2�Q?5}�Q�最大和�? + 8 = 11

�q�个问题如何解决呢？

一开始就提到�q�这是个典型的动态规划问题，动态规划问题最核心的步骤就是找状态�{�U�L��E��?br />首先我给��Z��个比较直观的解决�Ҏ��Q�如下：

首先我们定义:
1. maxsum[i][j]为前j个元素中i�D�和的最大��|��也就是目标函敎ͼ�最后我们要求的也就是max[M][N]
2. end_maxsum[i][j]为前j个元素中以第j个元素结��i�D�和的最大�?br />
那么我们可以得到如下状态�{�U�L��E�：

end_maxsum[i][j] = MAX(end_maxsum[i][j - 1] + A[j], maxsum[i - 1][j - 1] + A[j]); ----------------- 1
maxsum[i][j] = MAX(end_maxsum[i][j], maxsum[i][j - 1]); ----------------- 2

首先我们看第一个方�E�，end_maxsum[i][j]代表以第j个元素结��i�D�和的最大��|��那么有两�U�情况：
Case 1:
��A[j]直接接在�W�j-1个元素后面，�q�入前一个段�Q�那么之前的分段必须以A[j-1]�l�尾�Q�故为end_maxsum[i][j - 1]�Q�{A[k],...}{...,A[j-1]} + A[j] -> {A[k],...}{...,A[j - 1], A[j]}�Q?作这�U�拼接不会增加段数i�Q�此�U�情况下最大�ؓend_maxsum[i][j - 1] + A[j]�Q?br />
Case 2:
让A[j]独立作�ؓ一�D�，那么此时最大�ؓmaxsum[i - 1][j - 1] + A[j]�Q?br />
��二者取一个最大的卛_��得到end_maxsum[i][j]�?br />
得到了end_maxsum[i][j]之后�Q�我们如何得到maxsum[i][j]呢？
首先end_maxsum[i][j]肯定是maxsum[i][j]的一个候选，它代表将A[j]拉入该多�D�子串的最大和�Q?br />�q�有什么情况呢�Q?br />那么��是丢弃A[j]的最大和�Q�丢弃A[j]意味着maxsum[i][j] = maxsum[i][j - 1]�Q?br />所以我们只需要取MAX(end_maxsum[i][j], maxsum[i][j - 1])��可以得到maxsum[i][j]了�?br />
自此�Q�我们已�l�将动态规划思�\理清�Q�现在我们就可以构造一个自底向上的解了�Q�一般来说动态规划都可以理解��底向上地�Ҏ��转移方程填表�Q�，下面�l�出一个C++的简单实现�?br />输入格式为：
M N A[1] A[2] ... A[N]
输出为最大和�?br />

1 #include <iostream>
2
3 #define MAX 1000
4 #define MIN -1000
5
6 using namespace std;
7
8 int a[MAX];
9 int maxsum[MAX][MAX];
10 int end_maxsum[MAX][MAX];
11
12
13 int Max(int i, int j)
14 {
15     return i > j ? i : j;
16 }
17
18 int getTotalSum(int n)
19 {
20     int sum = 0;
21     for(int i = 1; i <= n; i++)
22     {
23         sum += a[i];
24     }
25     return sum;
26 }
27
28 int getMax(int m, int n)
29 {
30     if(n == m)
31         return getTotalSum(n);
32
33     for(int i = 1; i <= m; i++)
34     {
35         maxsum[i][i] = getTotalSum (i);
36         end_maxsum[i][i] = getTotalSum (i);
37     }
38
39     for(int i = 1; i <= m; i++)
40     {
41         int tempMax = getTotalSum (i);
42         for(int j = i + 1; j <= n; j++)
43         {
44             end_maxsum[i][j] = Max(end_maxsum[i][j - 1] + a[j], maxsum[i - 1][j - 1] + a[j]);
45             tempMax = Max(end_maxsum[i][j], maxsum[i][j - 1]);
46             maxsum[i][j] = tempMax;
47
48             //cout<<"dp["<
49         }
50     }
51     return maxsum[m][n];
52 }
53
54 int main()
55 {
56     int n, m;
57     int result;
58     while(cin>>m>>n && (m > 0 || n > 0))
59     {
60         a[0] = 0;
61         for(int i = 0; i < n; i++)
62         {
63             cin>>a[i + 1];
64         }
65
66         result = getMax(m, n);
67         cout<<result<<endl;
68     }
69
70     return 0;
71 }

�q�里需要说明一下，��Z��让这个实现和之前描述的解题思�\一��_��q�里采用了二�l�数�l�来记录maxsum和end_maxsum�Q�记录了很多没有用的信息�Q�空间耗费较大�Q�所以无法通过OJ�?br />实际上是可以用一�l�数�l�来记录�q�些信息的，�q�样可以大大减少�I�间�Q�对应的实现在很多帖子上已经出现�Q�大家可以去参考，思�\和上面描�q�的差不多，但是实现上更加节省空间�?br />希望能对大家理解�q�个问题有所帮助�?br />�Ƣ迎各位大牛批评指正�?br />
01/07/2014

FrankJinhao 2014-01-07 22:24 发表评论

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