⑴ 找出算法中的基本語句;

  算法中執(zhí)行次數(shù)最多的那條語句就是基本語句,通常是最內(nèi)層循環(huán)的循環(huán)體。

  ⑵ 計算基本語句的執(zhí)行次數(shù)的數(shù)量級;

  只需計算基本語句執(zhí)行次數(shù)的數(shù)量級,這就意味著只要保證基本語句執(zhí)行次數(shù)的函數(shù)中的最高次冪正確即可,可以忽略所有低次冪和最高次冪的系數(shù)。這樣能夠簡化算法分析,并且使注意力集中在最重要的一點上:增長率。

  ⑶ 用大Ο記號表示算法的時間性能。

  將基本語句執(zhí)行次數(shù)的數(shù)量級放入大Ο記號中。

  如果算法中包含嵌套的循環(huán),則基本語句通常是最內(nèi)層的循環(huán)體,如果算法中包含并列的循環(huán),則將并列循環(huán)的時間復雜度相加。例如:

  for (i=1; i<=n; i++)
x++;

  for (i=1; i<=n; i++)
for (j=1; j<=n; j++)
x++;

  第一個for循環(huán)的時間復雜度為Ο(n),第二個for循環(huán)的時間復雜度為Ο(n2),則整個算法的時間復雜度為Ο(n+n2)=Ο(n2)。

  常見的算法時間復雜度由小到大依次為:

  Ο(1)<Ο(log2n)<Ο(n)<Ο(nlog2n)<Ο(n2)<Ο(n3)<…<Ο(2n)<Ο(n!)

  Ο(1)表示基本語句的執(zhí)行次數(shù)是一個常數(shù),一般來說,只要算法中不存在循環(huán)語句,其時間復雜度就是Ο(1)。Ο(log2n)、Ο(n)、Ο(nlog2n)、Ο(n2)和Ο(n3)稱為多項式時間,而Ο(2n)和Ο(n!)稱為指數(shù)時間。計算機科學家普遍認為前者是有效算法,把這類問題稱為P類問題,而把后者稱為NP問題。

O(1)

Temp=i;i=j;j=temp;                    

以上三條單個語句的頻度均為1,該程序段的執(zhí)行時間是一個與問題規(guī)模n無關的常數(shù)。算法的時間復雜度為常數(shù)階,記作T(n)=O(1)。如果算法的執(zhí)行時 間不隨著問題規(guī)模n的增加而增長,即使算法中有上千條語句,其執(zhí)行時間也不過是一個較大的常數(shù)。此類算法的時間復雜度是O(1)。

O(n^2)

2.1. 交換i和j的內(nèi)容
     sum=0;                 (一次)
     for(i=1;i<=n;i++)       (n次 )
        for(j=1;j<=n;j++) (n^2次 )
         sum++;       (n^2次 )
解:T(n)=2n^2+n+1 =O(n^2)

2.2.   
    for (i=1;i<n;i++)
    {
        y=y+1;         ①   
        for (j=0;j<=(2*n);j++)    
           x++;        ②      
    }         
解: 語句1的頻度是n-1
          語句2的頻度是(n-1)*(2n+1)=2n^2-n-1
          f(n)=2n^2-n-1+(n-1)=2n^2-2
          該程序的時間復雜度T(n)=O(n^2).         

O(n)      
                                                      
2.3.
    a=0;
    b=1;                      ①
    for (i=1;i<=n;i++) ②
    {  
       s=a+b;    ③
       b=a;     ④  
       a=s;     ⑤
    }
解: 語句1的頻度:2,        
           語句2的頻度: n,        
          語句3的頻度: n-1,        
          語句4的頻度:n-1,    
          語句5的頻度:n-1,                                  
          T(n)=2+n+3(n-1)=4n-1=O(n).
                                                                                                 
O(logn )

2.4.
     i=1;       ①
    while (i<=n)
       i=i*2; ②
解: 語句1的頻度是1,  
          設語句2的頻度是f(n),   則:2^f(n)<=n;f(n)<=logn    
          取最大值f(n)= logn,
          T(n)=O(logn )

O(n^3)

2.5.
    for(i=0;i<n;i++)
    {  
       for(j=0;j<i;j++)  
       {
          for(k=0;k<j;k++)
             x=x+2;  
       }
    }
解:當i=m, j=k的時候,內(nèi)層循環(huán)的次數(shù)為k當i=m時, j 可以取 0,1,...,m-1 , 所以這里最內(nèi)循環(huán)共進行了0+1+...+m-1=(m-1)m/2次所以,i從0取到n, 則循環(huán)共進行了: 0+(1-1)*1/2+...+(n-1)n/2=n(n+1)(n-1)/6所以時間復雜度為O(n^3).