Posted on 2007-07-27 19:36
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Mathematics
1. Peano 系統
Peano系統是滿足以下公設的有序三元組<M, F, e>，其中M為一個集合，F為M到M的函數，e為首元素。5條公設為：
(1) e ∈M
(2) M在F下是封閉的
(3) e ￠ ranF （暫時只找到這個符號表示“不屬于” 囧）
(4) F是單射的
(5) 如果M的子集A滿足 (e屬于A) 且 (A在F下是封閉的)，則A=M
(5)稱為極小性公設
2. 設A為一個集合，稱 A∪{A} 為A的后繼，記作A+, 并稱求集合的后繼為后繼運算。
3. 設A為一個集合，若A滿足：
(1) Ø ∈A，
(2) 若對于一切 a ∈A，則 a+ ∈A，
則稱A是歸納集。
4. 從歸納集的定義可以看出，Ø，Ø+, Ø++,... 是所有歸納集的元素，于是可以將它們定義成自然數。
自然數是屬于每個歸納集的集合，將Ø，Ø+, Ø++,...分別記為0, 1, 2, ...
設D={v | v是歸納集|，稱∩D為全體自然數集合，記為N.
設N為自然數集合，σ: N -> N，且σ(n) = n+, 則<N, σ, Ø>是Peano系統。
這個Peano系統的第(5)條公設提出了證明自然數性質的一種方法，即數學歸納法，稱此公設為數學歸納法原理。